Φορτώνει…
ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ

Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο WLJS Notebook .

.md # Εκφράζοντας την κοινωνική διαστρωμάτωση *Τα Ασαφή Σύνολα ξεκαθαρίζουν τις ασαφείς έννοιες!* ## Μια πρώτη εξειδανικευμένη προσέγγιση Το μακρινό 2010, πριν το δόγμα **ΤΙΝΑ** (There Is No Alternative) εμπεδωθεί μετά την κυβερνητική διαχείριση του ΣΥΡΙΖΑ, υπήρχαν διάφορες συζητήσεις περί φορολόγησης των πλουσίων αντί της αφαίμαξης των φτωχών. Μια συνηθισμένη ένσταση σε αυτές τις προτάσεις ήταν «*Και πώς ορίζεις τον πλούσιο ή τον φτωχό; Αν πούμε ότι πλούσιοι είναι οι έχοντες μηνιαίο εισόδημα πάνω από 10k€, τότε αυτός που έχει 10k€-1€ παύει να 'ναι πλούσιος;*». Την ανταπάντηση σε αυτή τουλάχιστον την ένσταση έρχεται να δώσει ο κλάδος των Ασαφών Συνόλων. Σε αντίθεση με το ακριβές σύνολο <span style="color:orange">**γαλανομάτιδες άνθρωποι**</span>, στο οποίο είτε ανήκει κάποιος 100% είτε δεν ανήκει καθόλου, στην περίπτωση του συνόλου <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span> δεν μπορούμε να βρούμε παρόμοιο κριτήριο ακριβείας με το οποίο κάποιος να εντάσσεται ή να αποκλείεται από αυτή την ομάδα. Συνεπώς, αυτό που χρειαζόμαστε είναι μια συνάρτηση μέλους ($\color{red}\mu$), η οποία να έχει ως όρισμα κάθε άτομο του πληθυσμού που μας ενδιαφέρει και να εξάγει τον βαθμό με τον οποίο αυτό είναι μέλος στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span>. Το σύνολο όλης της ανθρωπότητας εφοδιασμένο με τη συνάρτηση μέλους $\color{red}\mu$ είναι το **ασαφές σύνολο** <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span>. Ας πάμε να ορίσουμε την συνάρτηση $\color{red}\mu$, ώστε να δούμε ποιοι άνθρωποι έχουν μηδενική ένταξη στο ασαφές σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span>, ποιοι ανοίκουν 100% στο ασαφές σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span> και ποιοι κάτι ενδιάμεσο. Προς τούτο ορίζουμε το κάτωθι βιοποριστικό επίπεδο: > Το <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span>. Σε αυτό έχουμε τη δυνατότητα να ικανοποιήσουμε τις ανάγκες επιβίωσης, δηλαδή να τρεφόμαστε σωστά, να έχουμε στέγαση, να μπορούμεί να πάμε στο γιατρό κ.τ.λ., αλλά και κάτι παραπάνω. Στο επίπεδο αυτό θα πρέπει να μπορούμε να έχουμε ένα επίπεδο μόρφωσης που θα μάς επιτρέπει να αναλύουμε την φυσική και κοινωνική πραγματικότητα γύρω μας. Με απλά λόγια θα πρέπει να μπορούμε να κατανοήσουμε ένα τουλάχιστον άρθρο από κάθε επιστημονικό περιοδικό, είτε αυτό είναι το Quantum είτε η Αρχαιολογία. Τόσο η επίτευξη αυτού του μορφωτικού επιπέδου, όσο και η διατήρησή του δια της αγοράς βιβλίων και περιοδικών, κοστίζει. Θα πρέπει επίσης να μπορούμε να καλλιεργήσουμε το πνεύμα μας πηγαίνοντας στις διαθέσιμες πολιτισμικές εκδηλώσεις. Τέλος, θα πρέπει να μπορούμε να αναπαράγουμε τον εαυτό μας, κάνοντας $1$ παιδί ανά άτομο, δίνοντάς τους το επίπεδο του ελεύθερου <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span>. Αυτό έστω ότι επιτυγχάνεται με χρήματα $\color{blue}x_1$. Για να μοντελοποιήσουμε την κοινωνική κατάσταση σε πρώτη φάση θα υποθέσουμε πως τα μόνα διαθέσιμα χρήματα που έχουμε είναι αυτά της τωρινής εργασίας μας, ότι στην τράπεζα έχουμε έναν άδειο λογαριασμό (όπως ο γράφων) και ότι μπορούμε να πλουτίσουμε (όχι όπως ο γράφων) μόνο αποταμιεύοντας μέρος του εισοδήματος της εργασίας μας. Έτσι, λοιπόν, το <span style="color:blue">**επίπεδο πλουσίου**</span> καθορίζεται από το πόσα χρήματα έχεις μαζέψει βάσει της εργασίας σου. Συνεπώς η τιμή της συνάρτησης μέλους ($\color{red}\mu$) προσδιορίζεται μόνο από το επίπεδο του μηνιαίου εργασιακού εισοδήματος (έστω $\color{blue}x$), οπότε μπορούμε να τη γράφουμε ${\color{red}\mu({\color{blue}x})}$. Έτσι, θεωρούμε πως κάποιος ανήκει έστω σε κάποιο βαθμό στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span>, αν μπορεί να πετύχει κάτι παραπάνω από το <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span>, το οποίο επιτυχγάνει έχοντας μηνιαίο εισόδημα $\color{blue}x_1$. Κάτω από αυτό το εισόδημα δεν ανήκει ούτε κατά διάνοια στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span>. Μπορούμε να θεωρήσουμε επίσης ένα επίπεδο μηνιαίου εισοδήματος $\color{blue}x_2$, από το οποίο και πάνω ο έχων αυτό το εισόδημα να είναι αδιαμφισβήτητα πλούσιος. Μια εύλογη υπόθεση θα ήταν το $\color{blue}{x_2}=2\color{blue}{x_1}$, ώστε ζώντας στο <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span> και αποταμιεύοντας τα πλεονάζοντα χρήματα να μπορεί να εξασφαλίσει το <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span> χωρίς εργασία για το ήμισι της υπόλοιπης εργάσιμης ζωής του. Τώρα γεννάται το ερώτημα «Και σε ποιο βαθμό ανήκει κάποιος στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span> όταν έχειε διαθέσιμα χρήματα μεταξύ των $\color{blue}x_1$€ και $\color{blue}x_2$€;». Το πιο λογικό είναι να αυξάνεται ανάλογα, δηλαδή *όσο πιο κοντά είσαι στο $\color{blue}x_2$, τόσο περισσότερο ν' ανήκεις στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span>*. Συμβολικά έχουμε, λοιπόν: - ${\color{red}\mu({\color{blue}x})}={\color{red}0}$ (δηλαδή $\color{red}0\%$), αν ${\color{blue}x}\leq {\color{blue}x_1}$, - ${\color{red}\mu({\color{blue}x})}={\color{red}\dfrac{{\color{blue}x}-{\color{blue}x_1}}{{\color{blue}x_2}-{\color{blue}x_1}}}$, αν $ {\color{blue}x_1}< {\color{blue}x}< {\color{blue}x_2}$, - ${\color{red}\mu({\color{blue}x})}={\color{red}1}$ (δηλαδή $\color{red}100\%$), αν ${\color{blue}x}\geq {\color{blue}x_2}$. Στο `Mathematica` γράφουμε, λοιπόν, τα κάτωθι: # Εκφράζοντας την κοινωνική διαστρωμάτωση *Τα Ασαφή Σύνολα ξεκαθαρίζουν τις ασαφείς έννοιες!*

Μια πρώτη εξειδανικευμένη προσέγγιση

Το μακρινό 2010, πριν το δόγμα **ΤΙΝΑ** (There Is No Alternative) εμπεδωθεί μετά την κυβερνητική διαχείριση του ΣΥΡΙΖΑ, υπήρχαν διάφορες συζητήσεις περί φορολόγησης των πλουσίων αντί της αφαίμαξης των φτωχών. Μια συνηθισμένη ένσταση σε αυτές τις προτάσεις ήταν «*Και πώς ορίζεις τον πλούσιο ή τον φτωχό; Αν πούμε ότι πλούσιοι είναι οι έχοντες μηνιαίο εισόδημα πάνω από 10k€, τότε αυτός που έχει 10k€-1€ παύει να 'ναι πλούσιος;*». Την ανταπάντηση σε αυτή τουλάχιστον την ένσταση έρχεται να δώσει ο κλάδος των Ασαφών Συνόλων. Σε αντίθεση με το ακριβές σύνολο **γαλανομάτιδες άνθρωποι** , στο οποίο είτε ανήκει κάποιος 100% είτε δεν ανήκει καθόλου, στην περίπτωση του συνόλου **πλούσιοι** δεν μπορούμε να βρούμε παρόμοιο κριτήριο ακριβείας με το οποίο κάποιος να εντάσσεται ή να αποκλείεται από αυτή την ομάδα. Συνεπώς, αυτό που χρειαζόμαστε είναι μια συνάρτηση μέλους ($\color{red}\mu$), η οποία να έχει ως όρισμα κάθε άτομο του πληθυσμού που μας ενδιαφέρει και να εξάγει τον βαθμό με τον οποίο αυτό είναι μέλος στο σύνολο **πλούσιοι** . Το σύνολο όλης της ανθρωπότητας εφοδιασμένο με τη συνάρτηση μέλους $\color{red}\mu$ είναι το **ασαφές σύνολο** **πλούσιοι** . Ας πάμε να ορίσουμε την συνάρτηση $\color{red}\mu$, ώστε να δούμε ποιοι άνθρωποι έχουν μηδενική ένταξη στο ασαφές σύνολο **πλούσιοι** , ποιοι ανοίκουν 100% στο ασαφές σύνολο **πλούσιοι** και ποιοι κάτι ενδιάμεσο. Προς τούτο ορίζουμε το κάτωθι βιοποριστικό επίπεδο: Το **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** . Σε αυτό έχουμε τη δυνατότητα να ικανοποιήσουμε τις ανάγκες επιβίωσης, δηλαδή να τρεφόμαστε σωστά, να έχουμε στέγαση, να μπορούμεί να πάμε στο γιατρό κ.τ.λ., αλλά και κάτι παραπάνω. Στο επίπεδο αυτό θα πρέπει να μπορούμε να έχουμε ένα επίπεδο μόρφωσης που θα μάς επιτρέπει να αναλύουμε την φυσική και κοινωνική πραγματικότητα γύρω μας. Με απλά λόγια θα πρέπει να μπορούμε να κατανοήσουμε ένα τουλάχιστον άρθρο από κάθε επιστημονικό περιοδικό, είτε αυτό είναι το Quantum είτε η Αρχαιολογία. Τόσο η επίτευξη αυτού του μορφωτικού επιπέδου, όσο και η διατήρησή του δια της αγοράς βιβλίων και περιοδικών, κοστίζει. Θα πρέπει επίσης να μπορούμε να καλλιεργήσουμε το πνεύμα μας πηγαίνοντας στις διαθέσιμες πολιτισμικές εκδηλώσεις. Τέλος, θα πρέπει να μπορούμε να αναπαράγουμε τον εαυτό μας, κάνοντας $1$ παιδί ανά άτομο, δίνοντάς τους το επίπεδο του ελεύθερου **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** . Αυτό έστω ότι επιτυγχάνεται με χρήματα $\color{blue}x_1$. Για να μοντελοποιήσουμε την κοινωνική κατάσταση σε πρώτη φάση θα υποθέσουμε πως τα μόνα διαθέσιμα χρήματα που έχουμε είναι αυτά της τωρινής εργασίας μας, ότι στην τράπεζα έχουμε έναν άδειο λογαριασμό (όπως ο γράφων) και ότι μπορούμε να πλουτίσουμε (όχι όπως ο γράφων) μόνο αποταμιεύοντας μέρος του εισοδήματος της εργασίας μας. Έτσι, λοιπόν, το **επίπεδο πλουσίου** καθορίζεται από το πόσα χρήματα έχεις μαζέψει βάσει της εργασίας σου. Συνεπώς η τιμή της συνάρτησης μέλους ($\color{red}\mu$) προσδιορίζεται μόνο από το επίπεδο του μηνιαίου εργασιακού εισοδήματος (έστω $\color{blue}x$), οπότε μπορούμε να τη γράφουμε ${\color{red}\mu({\color{blue}x})}$. Έτσι, θεωρούμε πως κάποιος ανήκει έστω σε κάποιο βαθμό στο σύνολο **πλούσιοι** , αν μπορεί να πετύχει κάτι παραπάνω από το **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** , το οποίο επιτυχγάνει έχοντας μηνιαίο εισόδημα $\color{blue}x_1$. Κάτω από αυτό το εισόδημα δεν ανήκει ούτε κατά διάνοια στο σύνολο **πλούσιοι** . Μπορούμε να θεωρήσουμε επίσης ένα επίπεδο μηνιαίου εισοδήματος $\color{blue}x_2$, από το οποίο και πάνω ο έχων αυτό το εισόδημα να είναι αδιαμφισβήτητα πλούσιος. Μια εύλογη υπόθεση θα ήταν το $\color{blue}{x_2}=2\color{blue}{x_1}$, ώστε ζώντας στο **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** και αποταμιεύοντας τα πλεονάζοντα χρήματα να μπορεί να εξασφαλίσει το **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** χωρίς εργασία για το ήμισι της υπόλοιπης εργάσιμης ζωής του. Τώρα γεννάται το ερώτημα «Και σε ποιο βαθμό ανήκει κάποιος στο σύνολο **πλούσιοι** όταν έχειε διαθέσιμα χρήματα μεταξύ των $\color{blue}x_1$€ και $\color{blue}x_2$€;». Το πιο λογικό είναι να αυξάνεται ανάλογα, δηλαδή *όσο πιο κοντά είσαι στο $\color{blue}x_2$, τόσο περισσότερο ν' ανήκεις στο σύνολο **πλούσιοι** *. Συμβολικά έχουμε, λοιπόν: - ${\color{red}\mu({\color{blue}x})}={\color{red}0}$ (δηλαδή $\color{red}0\%$), αν ${\color{blue}x}\leq {\color{blue}x_1}$, - ${\color{red}\mu({\color{blue}x})}={\color{red}\dfrac{{\color{blue}x}-{\color{blue}x_1}}{{\color{blue}x_2}-{\color{blue}x_1}}}$, αν $ {\color{blue}x_1}< {\color{blue}x}< {\color{blue}x_2}$, - ${\color{red}\mu({\color{blue}x})}={\color{red}1}$ (δηλαδή $\color{red}100\%$), αν ${\color{blue}x}\geq {\color{blue}x_2}$. Στο `Mathematica` γράφουμε, λοιπόν, τα κάτωθι: Clear["Global`*"] m[x_] := Which[x<=x1,0,x1<x<x2,(x-x1)/(x2-x1),x>=x2,1] .md Στην περίπτωση που θα θέλαμε να δούμε γραφικά τη συνάρτηση $\color{red}\mu$, δεν έχουμε παρά να συγκεκριμενοποιήσουμε τα $\color{blue}x_1$ και $\color{blue}x_2$. Εδώ θα κάνουμε μια πρόχειρη εκτίμηση και αφήνεται σε επόμενη έρευνα ένας καλύτερος προσδιορισμός τους. Στην περίπτωση που θα θέλαμε να δούμε γραφικά τη συνάρτηση $\color{red}\mu$, δεν έχουμε παρά να συγκεκριμενοποιήσουμε τα $\color{blue}x_1$ και $\color{blue}x_2$. Εδώ θα κάνουμε μια πρόχειρη εκτίμηση και αφήνεται σε επόμενη έρευνα ένας καλύτερος προσδιορισμός τους. x1=3000; x2=20000; Plot[m[x],{x,0,x1+x2}, ImageSize->500, PlotStyle->Red] .md ## Πράξεις στα ασαφή σύνολα

Πράξεις στα ασαφή σύνολα

.md ### Άρνηση :::warning ⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️ :::

Άρνηση

:::warning ⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️ ::: .md ### Σύζευξη Έστω ότι έχουμε δύο ασαφή σύνολα με συναρτήσεις μέλους $\color{red}\mu_1$ και $\color{red}\mu_2$. Ας πούμε ότι η πρώτη μετράει το πόσο κάποιος είναι στο ασαφές σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span> και η άλλη το πόσο κάποιος είναι στο ασαφές σύνολο <span style="color:orange">**όμορφοι**</span>. Ενδιαφερόμαστε να δούμε το πόσο κάποιος είναι πλούσιος και όμορφος, δηλαδή το πόσο ανήκει στο ασαφές σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι ΚΑΙ όμορφοι**</span>. Έτσι, λοιπόν, έχουμε έναν συγκεκριμένο άντρα (τον $\color{cyan}\text{Γιώργο}$) που στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span> ανήκει σε βαθμό $\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})$ και στο σύνολο <span style="color:orange">**όμορφοι**</span> ανήκει σε βαθμό $\color{red}\mu_2({\color{cyan}\text{Γιώργος}})$. Θα βρούμε σε ποιο βαθμό ($\color{red}\mu({\color{cyan}\text{Γιώργος}})$) ανήκει στο ασαφές σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι ΚΑΙ όμορφοι**</span>. Χωρίς απώλεια της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ${\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}\leq{\color{red}\mu_2({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}$. Τότε: - Το να ανήκει κάποιος στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι ΚΑΙ όμορφοι**</span>, πάει να πει ότι η ένταξη στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span> είναι κατοχυρωμένη, τουλάχιστον όσο ανήκει σε αυτό (που είναι το σύνολο με την ελάχιστη ένταξη). Αυτό σημαίνει ότι η ένταξη στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι ΚΑΙ όμορφοι**</span> θα συμβαίνει τουλάχιστον στο βαθμό που εντάσεται και στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span>. Δηλαδή ${\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}\leq{\color{red}\mu({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}$. - Από την άλλη, το ότι κάποιος ανήκει και στο σύνολο <span style="color:orange">**όμορφοι**</span>, δεν μπορεί να τον κάνει ν' ανήκει περισσότερο στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span>. Αυτό σημαίνει ότι ο βαθμός ένταξης στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι ΚΑΙ όμορφοι**</span> δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος του βαθμού ένταξης στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span>. Δηλαδή ${\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}\geq{\color{red}\mu({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}$. Από τα παραπάνω συνάγουμε ότι ${\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}={\color{red}\mu({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}$, δηλαδή: $$ {\color{red}\mu({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}={\color{orange}\min\left({\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})},{\color{red}\mu_2({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}\right)} $$

Σύζευξη

Έστω ότι έχουμε δύο ασαφή σύνολα με συναρτήσεις μέλους $\color{red}\mu_1$ και $\color{red}\mu_2$. Ας πούμε ότι η πρώτη μετράει το πόσο κάποιος είναι στο ασαφές σύνολο **πλούσιοι** και η άλλη το πόσο κάποιος είναι στο ασαφές σύνολο **όμορφοι** . Ενδιαφερόμαστε να δούμε το πόσο κάποιος είναι πλούσιος και όμορφος, δηλαδή το πόσο ανήκει στο ασαφές σύνολο **πλούσιοι ΚΑΙ όμορφοι** . Έτσι, λοιπόν, έχουμε έναν συγκεκριμένο άντρα (τον $\color{cyan}\text{Γιώργο}$) που στο σύνολο **πλούσιοι** ανήκει σε βαθμό $\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})$ και στο σύνολο **όμορφοι** ανήκει σε βαθμό $\color{red}\mu_2({\color{cyan}\text{Γιώργος}})$. Θα βρούμε σε ποιο βαθμό ($\color{red}\mu({\color{cyan}\text{Γιώργος}})$) ανήκει στο ασαφές σύνολο **πλούσιοι ΚΑΙ όμορφοι** . Χωρίς απώλεια της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ${\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}\leq{\color{red}\mu_2({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}$. Τότε: - Το να ανήκει κάποιος στο σύνολο **πλούσιοι ΚΑΙ όμορφοι** , πάει να πει ότι η ένταξη στο σύνολο **πλούσιοι** είναι κατοχυρωμένη, τουλάχιστον όσο ανήκει σε αυτό (που είναι το σύνολο με την ελάχιστη ένταξη). Αυτό σημαίνει ότι η ένταξη στο σύνολο **πλούσιοι ΚΑΙ όμορφοι** θα συμβαίνει τουλάχιστον στο βαθμό που εντάσεται και στο σύνολο **πλούσιοι** . Δηλαδή ${\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}\leq{\color{red}\mu({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}$. - Από την άλλη, το ότι κάποιος ανήκει και στο σύνολο **όμορφοι** , δεν μπορεί να τον κάνει ν' ανήκει περισσότερο στο σύνολο **πλούσιοι** . Αυτό σημαίνει ότι ο βαθμός ένταξης στο σύνολο **πλούσιοι ΚΑΙ όμορφοι** δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος του βαθμού ένταξης στο σύνολο **πλούσιοι** . Δηλαδή ${\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}\geq{\color{red}\mu({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}$. Από τα παραπάνω συνάγουμε ότι ${\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}={\color{red}\mu({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}$, δηλαδή: $$ {\color{red}\mu({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}={\color{orange}\min\left({\color{red}\mu_1({\color{cyan}\text{Γιώργος}})},{\color{red}\mu_2({\color{cyan}\text{Γιώργος}})}\right)} $$ .md ### Διάζευξη :::warning ⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️ :::

Διάζευξη

:::warning ⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️ ::: .md ## Μια καλύτερη εκτίμηση του επιπέδου πλουτισμού Οι αρχαίοι Ρωμαίοι θεωρούσαν ένδειξη προσωπικής ισχύος το ότι μπορούσες να διαχειριστείς εσύ τον ελεύθερο χρόνο σου. Η αλήθεια είναι πως το κλειδί στην όλη συλλογιστική είναι αυτό. Μπορείς να εξασφαλίσεις το <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span> δουλεύοντας λίγο; Τότε είσαι πλούσιος. Πρέπει να κάνιες 2-3 δουλειές για να εξασφαλίσεις ένα «τσικ» παραπάνω από το <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span>, τότε δεν μπορείς να θεωρηθείς με απόλυτη βεβαιότητα πλούσιος. Ας τα δούμε και με λίγη παραπάνω ακρίβεια: - Έστω $\color{green}a$ η ηλικία του ατόμου, $\color{green}a_0$ το προσδόκιμο ζωής και $\color{green}a_1$ η ηλικία συνταξιοδότησης. Έτσι, η εργάσιμη ζωή, δηλαδή ο χρόνος που μπορείς να εργαστεί είναι ${\color{green}a_1}-{\color{green}a}$. - Ας είναι $\color{brown}p$ το ποσοστό της εργάσιμης ζωής στο οποίο εργάζεται το άτομο που μελετάμε. Έτσι, αν εργάζεται 8ωρο, το $\color{brown}p$ θα είναι ${\color{brown}\frac{8}{24}}={\color{brown}\frac{1}{3}}$. Ή αν εργάζεται για τα μισά χρόνια που απομένουν μέχρι να πάρει σύνταξη, τότε ${\color{brown}p}={\color{brown}\frac{1}{2}}$. - Ορίζουμε επίσης $\color{brown}p_0$ το ποσοστό της εργάσιμης ζωής το οποίο είναι ανώδυνο κάποιος να εργάζεται. Προφανώς, η τιμή αυτού εξαρτάται τόσο από το επάγγελμα του ατόμου, όσο και από τα υποκειμενικά του χαρακτηριστικά (π.χ. υγεία). - Συμβολίζουμε με $\color{blue}I({\color{brown}p})$ το μέσο μηνιαίο εισόδημα από $\color{brown}p$ ποσοστό χρόνου εργασίας - και με $\color{brown}p_1$ το ποσοστό του χρόνου εργασίας, ώστε να επιτυγχάνουμε το <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span>, δηλαδή ${\color{blue}I({\color{brown}p_1})}={\color{blue}x_1}$. Ας σταθούμε λίγο παραπάνω στη συνάρτηση $\color{blue}I$. Αυτή έχει να κάνει τόσο με το μηνιαίο εισόδημα λόγω της εργασίας ($\color{blue}x$), όσο και με την αποταμίευση, αλλά και το εισόδημα χωρίς εργασία (π.χ. έσοδα από ενοίκια, από επιχειρήσεις που δεν «τρέχει» ο ίδιος, τόκοι από καταθέσεις σε τράπεζες κ.τ.λ.). Αν θεωρήσουμε ότι: - $\color{blue}s$ είναι η τρέχουσα αποταμίευση, - $\color{blue}f({\color{green}a})$ το μηνιαίο εισόδημα χωρίς εργασία, όταν το άτομο έχει ηλικία $\color{green}a$, - $\color{blue}w$ είναι η αναμενόμενη σύνταξη, τότε κατά τη διάρκεια της ζωής του θα έχει μαζέψει το άτομο: $$ \color{blue}s+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}1}}^{\color{green}12(a_1-a)}x+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}1}}^{\color{green}12(a_0-a_1)}w+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}12a}}^{\color{green}12a_0)}f({\color{green}j}), $$ επομένως το μέσο μηνιαίο εισόδημα θα είναι: $$ {\color{blue}I({\color{brown}p})=\frac{s+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}1}}^{\color{green}12(a_1-a)}x+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}1}}^{\color{green}12(a_0-a_1)}w+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}12a}}^{\color{green}12a_0}f({\color{green}j})}{12(a_0-a)}}, $$ Έτσι είμαστε έτοιμοι να περιγράψουμε την εισοδηματική κατάσταση ενός ατόμου. - Αν το άτομο δεν έχει διαθέσιμα τα χρήματα που απαιτώνται για να βρίσκεται στο <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span>, τότε σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να θεωρηθεί πλούσιο. Δηλαδή ${\color{brown}p}<{\color{brown}p_1}$ - Από την άλλη, είναι με απόλυτη βεβαιότητα πλούσιο, αν το ποσοστό του χρόνου εργασίας που απαιτείται για την απόκτηση του <span style="color:blue">**επιπέδου του ελεύθερου πολίτη**</span> είναι μικρότερο από το ποσοστό που είναι κανείς ανώδυνο να εργάζεται και ταυτόχρονα το άτομο εργάζεται περισσότερο από αυτόν τον χρόνο. Δηλαδή ${\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p_0}$ και ${\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$. - Το άτομο είναι εν μέρει στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span> (θα δούμε πόσο «εν μέρει») όταν ναι μεν επιτυγχάνει να έχει εισόδημα που να του εξασφαλίζει κάτι παραπάνω από το <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span>, αλλά αυτό συμβαίνει με κόπο μεγαλύτερο του ασήμαντου. Δηλαδή ${\color{brown}p_0}<{\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$. Συμβολικά έχουμε: - ${\color{red}\mu({\color{brown}p},{\color{brown}p_1},{\color{brown}p_0})}={\color{red}0}$ (δηλαδή $\color{red}0\%$), αν ${\color{brown}p}<{\color{brown}p_1}$, - ${\color{red}\mu({\color{brown}p},{\color{brown}p_1},{\color{brown}p_0})}={\color{red}\dfrac{{\color{brown}p}-{\color{brown}p_1}}{{\color{brown}p}-{\color{brown}p_0}}}$, αν ${\color{brown}p_0}<{\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$, - ${\color{red}\mu({\color{brown}p},{\color{brown}p_1},{\color{brown}p_0})}={\color{red}1}$ (δηλαδή $\color{red}100\%$), αν ${\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p_0}$ και ${\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$. Η περίπτωση ${\color{brown}p_0}<{\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$ μπορεί να εξηγηθεί ως το μέτρο της δυσκολίας της επιπλέον εργασίας από αυτής πουχρειάζεται για να επιτύχει το <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span>. Δηλαδή δείχνει το πόσο απέχει η εργασία που εκτελεί από την αναγκαία για το το <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span> σε σχέση με την απόσταση της εργασίας του από την ανώδυνη εργασία. Μια άλλη ερμηνεία της περίπτωσης ${\color{brown}p_0}<{\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$ είναι ότι το πόσο κάποιος δεν ανήκει στο σύνολο <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span> έχει να κάνει με το πόσο απέχει από την ανόδυνη εργασία η αναγκαία για να πιάσει το <span style="color:blue">**επίπεδο του ελεύθερου πολίτη**</span> σε σχέση με την απόσταση της εργασίας που κάνει από την ανώδυνη εργασία. Δηλαδή: $$ 1-{\color{red}\mu({\color{brown}p},{\color{brown}p_1},{\color{brown}p_0})}={\color{red}\dfrac{{\color{brown}p_1}-{\color{brown}p_0}}{{\color{brown}p}-{\color{brown}p_0}}}. $$

Μια καλύτερη εκτίμηση του επιπέδου πλουτισμού

Οι αρχαίοι Ρωμαίοι θεωρούσαν ένδειξη προσωπικής ισχύος το ότι μπορούσες να διαχειριστείς εσύ τον ελεύθερο χρόνο σου. Η αλήθεια είναι πως το κλειδί στην όλη συλλογιστική είναι αυτό. Μπορείς να εξασφαλίσεις το **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** δουλεύοντας λίγο; Τότε είσαι πλούσιος. Πρέπει να κάνιες 2-3 δουλειές για να εξασφαλίσεις ένα «τσικ» παραπάνω από το **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** , τότε δεν μπορείς να θεωρηθείς με απόλυτη βεβαιότητα πλούσιος. Ας τα δούμε και με λίγη παραπάνω ακρίβεια: - Έστω $\color{green}a$ η ηλικία του ατόμου, $\color{green}a_0$ το προσδόκιμο ζωής και $\color{green}a_1$ η ηλικία συνταξιοδότησης. Έτσι, η εργάσιμη ζωή, δηλαδή ο χρόνος που μπορείς να εργαστεί είναι ${\color{green}a_1}-{\color{green}a}$. - Ας είναι $\color{brown}p$ το ποσοστό της εργάσιμης ζωής στο οποίο εργάζεται το άτομο που μελετάμε. Έτσι, αν εργάζεται 8ωρο, το $\color{brown}p$ θα είναι ${\color{brown}\frac{8}{24}}={\color{brown}\frac{1}{3}}$. Ή αν εργάζεται για τα μισά χρόνια που απομένουν μέχρι να πάρει σύνταξη, τότε ${\color{brown}p}={\color{brown}\frac{1}{2}}$. - Ορίζουμε επίσης $\color{brown}p_0$ το ποσοστό της εργάσιμης ζωής το οποίο είναι ανώδυνο κάποιος να εργάζεται. Προφανώς, η τιμή αυτού εξαρτάται τόσο από το επάγγελμα του ατόμου, όσο και από τα υποκειμενικά του χαρακτηριστικά (π.χ. υγεία). - Συμβολίζουμε με $\color{blue}I({\color{brown}p})$ το μέσο μηνιαίο εισόδημα από $\color{brown}p$ ποσοστό χρόνου εργασίας - και με $\color{brown}p_1$ το ποσοστό του χρόνου εργασίας, ώστε να επιτυγχάνουμε το **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** , δηλαδή ${\color{blue}I({\color{brown}p_1})}={\color{blue}x_1}$. Ας σταθούμε λίγο παραπάνω στη συνάρτηση $\color{blue}I$. Αυτή έχει να κάνει τόσο με το μηνιαίο εισόδημα λόγω της εργασίας ($\color{blue}x$), όσο και με την αποταμίευση, αλλά και το εισόδημα χωρίς εργασία (π.χ. έσοδα από ενοίκια, από επιχειρήσεις που δεν «τρέχει» ο ίδιος, τόκοι από καταθέσεις σε τράπεζες κ.τ.λ.). Αν θεωρήσουμε ότι: - $\color{blue}s$ είναι η τρέχουσα αποταμίευση, - $\color{blue}f({\color{green}a})$ το μηνιαίο εισόδημα χωρίς εργασία, όταν το άτομο έχει ηλικία $\color{green}a$, - $\color{blue}w$ είναι η αναμενόμενη σύνταξη, τότε κατά τη διάρκεια της ζωής του θα έχει μαζέψει το άτομο: $$ \color{blue}s+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}1}}^{\color{green}12(a_1-a)}x+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}1}}^{\color{green}12(a_0-a_1)}w+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}12a}}^{\color{green}12a_0)}f({\color{green}j}), $$ επομένως το μέσο μηνιαίο εισόδημα θα είναι: $$ {\color{blue}I({\color{brown}p})=\frac{s+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}1}}^{\color{green}12(a_1-a)}x+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}1}}^{\color{green}12(a_0-a_1)}w+\sum_{{\color{green}j}={\color{green}12a}}^{\color{green}12a_0}f({\color{green}j})}{12(a_0-a)}}, $$ Έτσι είμαστε έτοιμοι να περιγράψουμε την εισοδηματική κατάσταση ενός ατόμου. - Αν το άτομο δεν έχει διαθέσιμα τα χρήματα που απαιτώνται για να βρίσκεται στο **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** , τότε σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να θεωρηθεί πλούσιο. Δηλαδή ${\color{brown}p}<{\color{brown}p_1}$ - Από την άλλη, είναι με απόλυτη βεβαιότητα πλούσιο, αν το ποσοστό του χρόνου εργασίας που απαιτείται για την απόκτηση του **επιπέδου του ελεύθερου πολίτη** είναι μικρότερο από το ποσοστό που είναι κανείς ανώδυνο να εργάζεται και ταυτόχρονα το άτομο εργάζεται περισσότερο από αυτόν τον χρόνο. Δηλαδή ${\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p_0}$ και ${\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$. - Το άτομο είναι εν μέρει στο σύνολο **πλούσιοι** (θα δούμε πόσο «εν μέρει») όταν ναι μεν επιτυγχάνει να έχει εισόδημα που να του εξασφαλίζει κάτι παραπάνω από το **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** , αλλά αυτό συμβαίνει με κόπο μεγαλύτερο του ασήμαντου. Δηλαδή ${\color{brown}p_0}<{\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$. Συμβολικά έχουμε: - ${\color{red}\mu({\color{brown}p},{\color{brown}p_1},{\color{brown}p_0})}={\color{red}0}$ (δηλαδή $\color{red}0\%$), αν ${\color{brown}p}<{\color{brown}p_1}$, - ${\color{red}\mu({\color{brown}p},{\color{brown}p_1},{\color{brown}p_0})}={\color{red}\dfrac{{\color{brown}p}-{\color{brown}p_1}}{{\color{brown}p}-{\color{brown}p_0}}}$, αν ${\color{brown}p_0}<{\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$, - ${\color{red}\mu({\color{brown}p},{\color{brown}p_1},{\color{brown}p_0})}={\color{red}1}$ (δηλαδή $\color{red}100\%$), αν ${\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p_0}$ και ${\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$. Η περίπτωση ${\color{brown}p_0}<{\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$ μπορεί να εξηγηθεί ως το μέτρο της δυσκολίας της επιπλέον εργασίας από αυτής πουχρειάζεται για να επιτύχει το **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** . Δηλαδή δείχνει το πόσο απέχει η εργασία που εκτελεί από την αναγκαία για το το **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** σε σχέση με την απόσταση της εργασίας του από την ανώδυνη εργασία. Μια άλλη ερμηνεία της περίπτωσης ${\color{brown}p_0}<{\color{brown}p_1}\leq {\color{brown}p}$ είναι ότι το πόσο κάποιος δεν ανήκει στο σύνολο **πλούσιοι** έχει να κάνει με το πόσο απέχει από την ανόδυνη εργασία η αναγκαία για να πιάσει το **επίπεδο του ελεύθερου πολίτη** σε σχέση με την απόσταση της εργασίας που κάνει από την ανώδυνη εργασία. Δηλαδή: $$ 1-{\color{red}\mu({\color{brown}p},{\color{brown}p_1},{\color{brown}p_0})}={\color{red}\dfrac{{\color{brown}p_1}-{\color{brown}p_0}}{{\color{brown}p}-{\color{brown}p_0}}}. $$ .md ## Πιθανότητα ασαφούς συνόλου <span style="color:orange">**πλούσιοι**</span> ως μέτρο ευμάροιας της κοινωνίας :::warning ⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️ :::

Πιθανότητα ασαφούς συνόλου **πλούσιοι** ως μέτρο ευμάροιας της κοινωνίας

:::warning ⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️ :::

Κώστας Κούδας | © 2025