Προσέγγιση της κινητικής ενέργειας μέσω της θερμικής

Απόδειξη της σχέσης $K=a \cdot mv^2$ χρησιμοποιώντας μόνο θερμική ενέργεια και αρχές διατήρησης.

Κώστας Κούδας • Ιανουάριος 2020

Στο άρθρο αυτό θα αποδειχθεί ότι:

η κινητική ενέργεια ενός σώματος είναι ανάλογη της μάζας του και του τετραγώνου της ταχύτητάς του,

χρησιμοποιώντας μόνο την έννοια της θερμικής ενέργειας κι έχοντας σαν μοναδικές υποθέσεις:

την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (Α.Δ.Ε.),
την Αρχή Διατήρησης της Ορμής (Α.Δ.Ο.) και
τη συνέχεια της κινητικής ενέργειας ως συνάρτησης της μάζας και της ταχύτητας.

1. Η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη της μάζας

Ας θεωρήσουμε ότι διαθέτουμε μία πλαστελίνη, η οποία αποτελείται από δύο χρώματα. Ένα κόκκινο μάζας $m_1$ κι ένα μπλε μάζας $m_2$. Η πλαστελίνη συνολικά έχει μάζα $m=m_1+m_2$.

Αν ρίξουμε την εν λόγω πλαστελίνη στο πάτωμα, αυτή θα έχει θερμική ενέργεια ($Q$) όση και η κινητική της ενέργεια τη στιγμή της πρόσκρουσης (Α.Δ.Ε.). Δηλαδή:

$$Q=K(m,v)=K(m_1+m_2,v).$$

Ας εστιάσουμε τώρα στο κάθε κομματάκι της πλαστελίνης ξεχωριστά. Τοιαύτη περιπτώσει, καθόσον το κόκκινο κομμάτι είναι ενωμένο με το μπλε, θα έχουν την ίδια ταχύτητα ($v$) τη στιγμή της πρόσκρουσης. Επίσης η θερμική ενέργεια αυτή τη στιγμή του κόκκινου θα είναι:

$$Q_1=K(m_1,v),$$

ενώ το μπλε θα έχει θερμική ενέργεια:

$$Q_2=K(m_2,v).$$

Προφανώς η συνολική θερμική ενέργεια της πλαστελίνης οφείλει να είναι όση η θερμική ενέργεια του κόκκινου και του μπλε τμήματός της. Ήτοι:

$$Q=Q_1+Q_2 \Leftrightarrow K(m_1+m_2,v)=K(m_1,v)+K(m_2,v).$$

Με άλλα λόγια, για τη συνάρτηση $f_v(m)=K(m,v)$ θα ισχύει:

$$f_v(m_1+m_2)=f_v(m_1)+f_v(m_2),$$

όπερ σημαίνει ότι επαληθεύει την προσθετική συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy [1]. Συνεπώς $f_v(m)=m\cdot f_v(1)$, αφού υποτέθηκε συνεχής.

Εν κατακλείδι:

$$K(m,v)=m\cdot K(1,v).$$

2. Η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας

Έστωσαν τώρα δύο ίδια κομμάτια πλαστελίνης που κατευθύνονται το ένα προς το άλλο με ταχύτητες $v_1$ και $v_2$ με $v_1>v_2$ ως προς τη Γη. Λόγω της Α.Δ.Ο. αυτά συσσωματώνονται και αποκτούν ταχύτητα $\frac{v_1-v_2}{2}$.

Η ενέργεια που είχε αρχικά το σύστημα των δύο πλαστελίνων ήταν οι δύο κινητικές ενέργειες, δηλαδή:

$$K(m,v_1)+K(m,v_2)$$

και μετά η συνολική ενέργεια είναι η εναπομείνασα κινητική ενέργεια μαζί με τη θερμική που προέκυψε από τη συσσωμάτωση, ήτοι:

$$K\left( 2m,\dfrac{v_1-v_2}{2}\right) +Q.$$

Λόγω της Α.Δ.Ε. θα ισχύει:

$$K(m,v_1)+K(m,v_2)=K\left( 2m,\dfrac{v_1-v_2}{2}\right) +Q,$$

επομένως:

$$Q=K(m,v_1)+K(m,v_2)-K\left( 2m,\dfrac{v_1-v_2}{2}\right).$$

Από την άλλη, παρακολουθώντας το σύστημα με την ταχύτητα $v_1$ η αρχική ενέργεια του συστήματος φαίνεται να είναι η:

$$0+K(m,v_1+v_2),$$

καθόσον το ένα σώμα είναι πρακτικά ακίνητο για μας και το άλλο κινείται πλέον με ταχύτητα $v_1+v_2$.

Επίσης, η τελική ενέργεια του συστήματος είναι:

$$K\left( 2m,\dfrac{v_1+v_2}{2}\right) +Q,$$

όπου όμως η θερμική ενέργεια εξακολουθεί να είναι ίδια με την περίπτωση που ήμασταν ακίνητοι. Συνεπώς:

$$K\left( 2m,\dfrac{v_1+v_2}{2}\right) +Q= K\left( 2m,\dfrac{v_1+v_2}{2}\right)+K(m,v_1)+K(m,v_2)-K\left( 2m,\dfrac{v_1-v_2}{2}\right).$$

Επομένως, λόγω της Α.Δ.Ε. έχουμε:

$$K(m,v_1+v_2)=K\left( 2m,\dfrac{v_1+v_2}{2}\right)+K(m,v_1)+K(m,v_2)-K\left( 2m,\dfrac{v_1-v_2}{2}\right).$$

Δεδομένου τώρα ότι η $K$ είναι γραμμική ως προς τη μάζα $m$, έχουμε να λύσουμε τη συναρτησιακή εξίσωση:

\begin{equation}\label{eqKinEn} f_m(v_1+v_2)=2f_m\left(\dfrac{v_1+v_2}{2}\right) +f_m(v_1)+f_m(v_2)-2f_m\left(\dfrac{v_1-v_2}{2} \right) \end{equation}

όπου $f_m(v)=K(m,v)$.

Αποδεικνύεται^[1] ότι:

$$f_m(qv)=q^2\cdot f_m(v)\text{, για κάθε }q\in\mathbb{Q}\cap [0,+\infty)\ \text{ και } v\in[0,+\infty).$$

Άρα, δεδομένης της συνέχειας της $f_m$, προκύπτει ότι $f_m=v^2 \cdot f_m(1)$ και κατ' επέκταση:

$$K(m,v)=v^2\cdot K(m,1).$$

Έτσι, προκύπτει ότι:

$$K(m,v)=m\cdot K(1,v)=m\cdot v^2 \cdot K(1,1).$$

3. Απόδειξη της σχέσης $ \boldsymbol{f_m(qv)=q^2f_m(v)} $

Για $v_1=v_2=v$ έχουμε από την \eqref{eqKinEn}:

$$f_m(2v)=2f_m\left(v\right) +f_m(v)+f_m(v)-2f_m\left(0 \right)\Leftrightarrow f_m(2v)=4f_m(v).$$

Επίσης, για $v_1=2v$ και $v_2=2v$ έχουμε:

\begin{align*} f_m\left( 4v\right) =&2f_m(2v)+f_m(2v)+f_m(2v)-2f_m(0) \\ =&2\cdot 4 f_m(v)+4f_m(v)+4f_m(v)-0\\ =&16 f_m(v). \end{align*}

Επιπλέον για $v_1=3v$ και $v_2=v$ έχουμε:

\begin{align*} f_m\left( 4v\right) =2f_m(2v)+f_m(3v)+f_m(v)-2f_m(v) &\Leftrightarrow\\ 16f_m(v)=2\cdot 4 f_m(v)+f_m(3v)+f_m(v)-2f_m(v)&\Leftrightarrow\\ f_m(3v)=9f_m(v). \end{align*}

Συνεχίζοντας με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι:

\begin{equation}\label{SolKinEn} f_m(nv)=n^2f_m(v) \end{equation}

για κάθε $ n\in\mathbb{N} $. Αυστηρή απόδειξη αυτής της σχέσης μπορούμε να πετύχουμε με την Μαθηματική Επαγωγή:

Υποθέτοντας ότι ισχύει η \eqref{SolKinEn} για $n\leq 2\mu$ ($\mu\in\mathbb{N}$) και θέτοντας στην \eqref{eqKinEn}: \[ v_1=2\mu v\ \text{ και }\ v_2=2v, \]
προκύπτει ότι:

\begin{align*} f_m\left((2\mu+2)v \right) &=2f_m\left((\mu+1)v\right) +f_m(2\mu v)+f_m(2v)-2f_m\left((\mu-1)v \right)\\ & =2(\mu+1)^2f_m\left(v\right) +4\mu^2 f_m( v)+4f_m(v)-2(\mu-1)^2f_m\left(v \right)\\ &=(2\mu^2+4\mu+2+4\mu^2+4-2\mu^2+4\mu-2)f_m( v)\\ &=(4\mu^2+8\mu+4)f_m( v)\\ &=(2\mu+2)^2f_m( v) \end{align*}

επομένως θα ισχύει η \eqref{SolKinEn} και για $n=2\mu+2$. Από την άλλη θέτοντας στην \eqref{eqKinEn}:
\[ v_1=2\mu v+v\ \text{ και }\ v_2=v, \]
και λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι πλέον $f_m\left((2\mu+2)v \right)=(2\mu+2)^2f_m( v)$ προκύπτει ότι:

\begin{align*} &f_m\left((2\mu+2)v \right) =2f_m\left((\mu+1)v\right) +f_m\left( (2\mu+1) v\right) +f_m(v)-2f_m\left(\mu v \right)\\ \Leftrightarrow & (2\mu+2)^2 f_m\left(v \right) =2(\mu+1)^2 f_m\left(v\right) +f_m\left( (2\mu+1) v\right) +f_m(v)-2\mu ^2 f_m\left( v \right)\\ \Leftrightarrow &f_m\left( (2\mu+1) v\right)=(4\mu^2+8\mu+4-2\mu^2-4\mu-2-1+2\mu^2) f_m\left( v \right)\\ \Leftrightarrow &f_m\left( (2\mu+1) v\right)=(4\mu^2+4\mu+1) f_m\left( v \right)\\ \Leftrightarrow &f_m\left( (2\mu+1) v\right)=(2\mu+1)^2 f_m\left( v \right) \end{align*}

Δηλαδή θα ισχύει η \eqref{SolKinEn} και για $n=2\mu+1$.
Υποθέτοντας ότι ισχύει η \eqref{SolKinEn} για $n\leq 2\mu+1$ και θέτοντας στην \eqref{eqKinEn}: \[ v_1=2\mu v \ \text{ και }\ v_2=2v \]
προκύπτει ότι θα ισχύει:

\begin{align*} f_m\left((2\mu+2)v \right) &=2f_m\left((\mu+1)v\right) +f_m(2\mu v)+f_m(2v)-2f_m\left((\mu-1)v \right)\\ & =2(\mu+1)^2f_m\left(v\right) +4\mu^2 f_m( v)+4f_m(v)-2(\mu-1)^2f_m\left(v \right)\\ &=(2\mu^2+4\mu+2+4\mu^2+4-2\mu^2+4\mu-2)f_m( v)\\ &=(4\mu^2+8\mu+4)f_m( v)\\ &=(2\mu+2)^2f_m( v) \end{align*}

άρα ισχύει και για $n=2\mu+2$.

Επομένως, για κάθε $n\in\mathbb{N}$ ισχύει η συνεπαγωγή:

$$f_m(nv)=n^2f_m(v)\Rightarrow f_m\left(\left(n+1 \right)v \right) =(n+1)^2f_m(v)$$

και δεδομένου ότι $f_m(n v)=n^2 f_m(v)$ για $n=1,2,3,4$ έχουμε πλέον ότι η \eqref{SolKinEn} ισχύει για κάθε $n\in\mathbb{N}$.

Προσπαθώντας να επεκτείνουμε τη σχέση αυτή στους ρητούς θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις:

$$f_m\left( n\cdot\dfrac{1}{n}\cdot v\right) =f_m(v)\ \text{ και }\ f_m\left( n\cdot\dfrac{1}{n}\cdot v\right) =n^2f_m\left( \dfrac{1}{n}\cdot v\right). $$

Από αυτές έχουμε ότι:

$$f_m\left( \dfrac{1}{n}\cdot v\right)=\dfrac{1}{n^2}f_m(v)$$

Επομένως:

$$f_m\left( \dfrac{n_1}{n_2}\cdot v\right) =n_1^2 \cdot f_m\left(\dfrac{1}{n_2}\cdot v \right)=n_1^2\cdot\dfrac{1}{n_2^2}\cdot f_m(v)=\left( \dfrac{n_1}{n_2}\right)^2 \cdot f_m(v) $$

και κατά συνέπεια:

$$f_m(qv)=q^2\cdot f_m(v)\text{, για κάθε μη αρνητικό ρητό }q.$$

Υποσημειώσεις

^[1] Η απόδειξη παρατίθεται σε επόμενη ενότητα.

Βιβλιογραφία

J. Aczél και J. Dhombres. Functional equations in several variables. Cambridge University Press, 2008.