1. Εισαγωγή
1.1 Moore-Penrose αντίστροφος
Ως γνωστόν, δεν είναι πάντα εφικτό να αντιστρέψουμε έναν πίνακα. Ειδικά στην περίπτωση που δεν έχουμε τετραγωνικό πίνακα, η εύρεση αμφίπλευρου αντίστροφου δεν είναι
εφικτή.
Το καλύτερο υποκατάστατο (οποτεδήποτε είναι κι αυτό εφικτό), σύμφωνα με το
Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές είναι ο
ψευδοαντίστροφος ή Moore-Penrose αντίστροφος. Συγκεκριμένα οι δύο περιπτώσεις του έχουν ως εξής:
\begin{equation} \label{Moore1}
\text{Δεξιός ψευδοαντίστροφος: }A^{+δ}=A^T (AA^T)^{-1}
\end{equation}
και:
\begin{equation} \label{Moore2}
\text{Αριστερός ψευδοαντίστροφος: }A^{+α}=(A^T A)^{-1}A^T
\end{equation}
Όντως! Αν πολλαπλασιάσουμε από τα δεξιά τον $A\in M_{m\times n}$ με τον δεξιό ψευδοαντίστροφο, έχουμε $AA^T (AA^T)^{-1}=I_m$.
Ενώ αν πολλαπλασιάσουμε από τα αριστερά τον $A\in M_{m\times n}$ με τον αριστερό ψευδοαντίστροφο, έχουμε $(A^T A)^{-1}A^T A=I_n$.
1.2 Ορισμός διαίρεσης με διάνυσμα
Ας δούμε πώς λειτουργούν όλα αυτά στην περίπτωση των διανυσμάτων. Καταρχάς εδώ θα πρέπει να πούμε πως για λόγους ευκολίας στη διαχείριση των
συμβόλων ορίζουμε ότι $λ\vec{v}=\vec{v}λ$ για κάθε αριθμό $λ$ και διάνυσμα $\vec{v}$.
Έστω, λοιπόν, διανυσματικός χώρος $\mathcal{V}$ με εσωτερικό γινόμενο $\cdot : \mathcal{V}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Δεδομένου ότι το εσωτερικό γινόμενο $\vec{v}\vec{w}$
λειτουργεί όπως ο $\vec{v}\vec{w}^T$, μπορούμε να απλοποιήσουμε τη μορφή του δεξιού ψευδοαντιστρόφου ορίζοντάς τον απλά ως $\vec{v}(\vec{v}\cdot\vec{v})^{-1}$.
Έτσι, έχουμε τον ίδιο τύπο ψευδοαντιστρόφου και για την αριστερή περίπτωση, καθόσον $\vec{v}(\vec{v}\cdot\vec{v})^{-1}=(\vec{v}\cdot\vec{v})^{-1}\vec{v}$.
Όμως, ως γνωστόν $\vec{v}\cdot\vec{v}=\norm{\vec{v}}^2$, άρα έχουμε:
\begin{equation} \label{MooreVector}
\vec{v}^{+}=\dfrac{\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}.
\end{equation}
Αυτό μάς επιτρέπει να ορίσουμε για $\vec{v}\neq0$:
\begin{equation} \label{defDiv1}
\dfrac{\lambda}{\vec{v}}\overset{\operatorname{def.}}{=}\dfrac{\lambda\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}
\end{equation}
και:
\begin{equation} \label{defDiv2}
\dfrac{\vec{v}}{\vec{w}}\overset{\operatorname{def.}}{=}\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}.
\end{equation}
2. Βασικές ιδιότητες
2.1 Με μηδενικό αριθμητή
Είναι $\dfrac{0}{\vec{v}}=\vec{0}$, αφού:
\begin{equation} \label{zero1}
\dfrac{0}{\vec{v}}=\dfrac{0\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}=\dfrac{\vec{0}}{\norm{\vec{v}}^2}=\vec{0}
\end{equation}
Είναι $\dfrac{\vec{0}}{\vec{v}}=0$, αφού:
\begin{equation} \label{zero2}
\dfrac{\vec{0}}{\vec{v}}=\dfrac{\vec{0}\cdot\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}=\dfrac{0}{\norm{\vec{v}}^2}=0
\end{equation}
2.2 Απλοποιήσεις
Είναι $\dfrac{\vec{v}}{\vec{v}}=1$, αφού:
\begin{equation} \label{aplopoisi1}
\dfrac{\vec{v}}{\vec{v}}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}=\dfrac{\norm{\vec{v}}^2}{\norm{\vec{v}}^2}=1
\end{equation}
Είναι $\dfrac{\vec{v}^2}{\vec{v}}=\vec{v}$, αφού:
\begin{equation} \label{aplopoisi2}
\dfrac{\vec{v}^2}{\vec{v}}=\dfrac{\vec{v}^2\cdot\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}=\dfrac{\norm{\vec{v}}^2\cdot\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}=\vec{v}
\end{equation}
2.3 Προσθέσεις και αφαιρέσεις
Είναι $\dfrac{κ}{\vec{v}}\pm\dfrac{λ}{\vec{v}}=\dfrac{κ\pm λ}{\vec{v}}$, αφού:
\begin{equation} \label{prosu1}
\dfrac{κ}{\vec{v}}\pm\dfrac{λ}{\vec{v}}=\dfrac{κ\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}\pm\dfrac{λ\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}=\dfrac{(κ\pm λ)\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}=\dfrac{κ\pm λ}{\vec{v}}
\end{equation}
Είναι $\dfrac{\vec{v}}{\vec{w}}\pm\dfrac{\vec{u}}{\vec{w}}=\dfrac{\vec{v}\pm \vec{u}}{\vec{w}}$, αφού:
\begin{equation} \label{prosu2}
\dfrac{\vec{v}}{\vec{w}}\pm\dfrac{\vec{u}}{\vec{w}}=\dfrac{\vec{v}\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}\pm\dfrac{\vec{u}\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}=\dfrac{\vec{v}\vec{w}\pm\vec{u}\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}=\dfrac{\left(\vec{v}\pm\vec{u}\right)\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}=\dfrac{\vec{v}\pm \vec{u}}{\vec{w}}
\end{equation}
2.4 Πολλαπλασιασμοί
Είναι $\dfrac{κ}{λ}\dfrac{μ}{\vec{v}}=\dfrac{κμ}{λ\vec{v}}$, αφού:
\begin{equation} \label{prod1}
\dfrac{κ}{λ}\dfrac{μ}{\vec{v}}=\dfrac{κ}{λ}\dfrac{μ\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}=\dfrac{κμ(λ\vec{v})}{λ^2\norm{\vec{v}}^2}=\dfrac{κμ(λ\vec{v})}{\norm{λ\vec{v}}^2}=\dfrac{κμ}{λ\vec{v}}
\end{equation}
Είναι $\dfrac{\vec{v}}{κ}\dfrac{λ}{\vec{w}}=\dfrac{λ\vec{v}}{κ\vec{w}}$, αφού:
\begin{equation} \label{prod2}
\dfrac{\vec{v}}{κ}\dfrac{λ}{\vec{w}}=\dfrac{\vec{v}}{κ}\dfrac{λ\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}=\dfrac{(λ\vec{v})(κ\vec{w})}{κ^2\norm{\vec{w}}^2}=\dfrac{(λ\vec{v})(κ\vec{w})}{\norm{κ\vec{w}}^2}=\dfrac{λ\vec{v}}{κ\vec{w}}
\end{equation}
Είναι $\dfrac{κ}{λ}\dfrac{\vec{v}}{\vec{w}}=\dfrac{κ\vec{v}}{λ\vec{w}}$, αφού:
\begin{equation} \label{prod3}
\dfrac{κ}{λ}\dfrac{\vec{v}}{\vec{w}}=\dfrac{κ}{λ}\dfrac{\vec{v}\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}=\dfrac{(κ\vec{v})(λ\vec{w})}{λ^2\norm{\vec{w}}^2}=\dfrac{(κ\vec{v})(λ\vec{w})}{\norm{λ\vec{w}}^2}=\dfrac{κ\vec{v}}{λ\vec{w}}
\end{equation}
2.5 Δυνάμεις
Είναι $\left(\dfrac{κ}{\vec{v}}\right)^2=\dfrac{κ^2}{\vec{v}^2}$, αφού:
\begin{equation} \label{power}
\left(\dfrac{κ}{\vec{v}}\right)^2=\dfrac{κ}{\vec{v}}\cdot \dfrac{κ}{\vec{v}}=\dfrac{κ\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}\cdot \dfrac{κ\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}=
\dfrac{κ^2\vec{v}^2}{\norm{\vec{v}}^4}=\dfrac{κ^2 \vec{v}^2}{\vec{v}^2\vec{v}^2}=\dfrac{κ^2}{\vec{v}^2}
\end{equation}
2.6 Νόρμες και απόλυτες τιμές
Είναι $\norm{\dfrac{κ}{\vec{v}}}=\dfrac{|κ|}{\norm{\vec{v}}}$, αφού:
\begin{equation} \label{abs}
\norm{\dfrac{κ}{\vec{v}}}=\norm{\dfrac{κ\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}}=\left|\dfrac{κ}{\norm{\vec{v}}^2}\right|\cdot\norm{\vec{v}}=
\dfrac{|κ|}{\norm{\vec{v}}^2}\cdot\norm{\vec{v}}=\dfrac{|κ|}{\norm{\vec{v}}}
\end{equation}
2.7 Διαιρέσεις
Είναι $\dfrac{\dfrac{κ}{λ}}{\dfrac{μ}{\vec{v}}}=\dfrac{κ\vec{v}}{λμ}$, αφού:
\begin{equation} \label{frac1}
\dfrac{\dfrac{κ}{λ}}{\dfrac{μ}{\vec{v}}}=\dfrac{\dfrac{κ}{λ}}{\dfrac{μ\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}}=\dfrac{\dfrac{κ}{λ}}{\dfrac{μ}{\norm{\vec{v}}^2}\vec{v}}\overset{Θ.2.4}{=}
\dfrac{\dfrac{κ}{λ}}{\dfrac{μ}{\norm{\vec{v}}^2}}\dfrac{1}{\vec{v}}=\dfrac{\dfrac{κ}{λ}}{\dfrac{μ}{\norm{\vec{v}}^2}}\dfrac{\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}=\dfrac{κ\vec{v}}{λμ}
\end{equation}
Είναι $\dfrac{\dfrac{κ}{\vec{v}}}{\dfrac{λ}{μ}}=\dfrac{κμ}{λ\vec{v}}$, αφού:
\begin{equation} \label{frac2}
\dfrac{\dfrac{κ}{\vec{v}}}{\dfrac{λ}{μ}}=\dfrac{\dfrac{κ\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}}{\dfrac{λ}{μ}}=\dfrac{\dfrac{κ}{\norm{\vec{v}}^2}\vec{v}}{\dfrac{λ}{μ}}=
\dfrac{\dfrac{κ}{\norm{\vec{v}}^2}}{\dfrac{λ}{μ}}\vec{v}=\dfrac{κμ}{λ}\dfrac{\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}=\dfrac{κμ}{λ}\dfrac{1}{\vec{v}}\overset{Θ.2.4}{=}\dfrac{κμ}{λ\vec{v}}
\end{equation}
Είναι $\dfrac{\dfrac{\vec{v}}{κ}}{\dfrac{λ}{\vec{w}}}=\dfrac{\vec{v}\vec{w}}{κλ}$, αφού:
\begin{equation} \label{frac3}
\dfrac{\dfrac{\vec{v}}{κ}}{\dfrac{λ}{\vec{w}}}=\dfrac{\dfrac{\vec{v}}{κ}}{\dfrac{λ\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}}=\dfrac{\dfrac{1}{κ}\vec{v}}{\dfrac{λ}{\norm{\vec{w}}^2}\vec{w}}
\overset{Θ.2.4}{=}\dfrac{\dfrac{1}{κ}}{\dfrac{λ}{\norm{\vec{w}}^2}}\dfrac{\vec{v}}{\vec{w}}=\dfrac{\norm{\vec{w}}^2}{κλ}\dfrac{\vec{v}\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}=\dfrac{\vec{v}\vec{w}}{κλ}
\end{equation}
Είναι $\dfrac{\dfrac{κ}{\vec{v}}}{\dfrac{λ}{\vec{w}}}=\dfrac{κ\vec{w}}{λ\vec{v}}$, αφού:
\begin{equation} \label{frac4}
\dfrac{\dfrac{κ}{\vec{v}}}{\dfrac{λ}{\vec{w}}}=\dfrac{\dfrac{κ\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}}{\dfrac{λ\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}}=
\dfrac{κ\dfrac{\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}}{\dfrac{λ}{\norm{\vec{w}}^2}\vec{w}}\overset{Θ.2.4}{=}\dfrac{κ\norm{\vec{w}}^2}{λ}\dfrac{\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}\dfrac{1}{\vec{w}}
=\dfrac{κ\norm{\vec{w}}^2}{λ}\dfrac{1}{\vec{v}}\dfrac{\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}=\dfrac{κ}{λ}\dfrac{1}{\vec{v}}\dfrac{\vec{w}}{1}\overset{Θ.2.4}{=}\dfrac{κ\vec{w}}{λ\vec{v}}
\end{equation}
Είναι $\dfrac{\dfrac{\vec{v}}{κ}}{\dfrac{\vec{w}}{λ}}=\dfrac{λ\vec{v}}{κ\vec{w}}$, αφού:
\begin{equation} \label{frac5}
\dfrac{\dfrac{\vec{v}}{κ}}{\dfrac{\vec{w}}{λ}}=\dfrac{\dfrac{1}{κ}\vec{v}}{\dfrac{1}{λ}\vec{w}}\overset{Θ.2.4}{=}\dfrac{\dfrac{1}{κ}}{\dfrac{1}{λ}}\dfrac{\vec{v}}{\vec{w}}=
\dfrac{λ}{κ}\dfrac{\vec{v}}{\vec{w}}\overset{Θ.2.4}{=}\dfrac{λ\vec{v}}{κ\vec{w}}
\end{equation}
Είναι $\dfrac{\dfrac{\vec{v}}{\vec{w}}}{\dfrac{κ}{λ}}=\dfrac{λ\vec{v}}{κ\vec{w}}$, αφού:
\begin{equation} \label{frac6}
\dfrac{\dfrac{\vec{v}}{\vec{w}}}{\dfrac{κ}{λ}}=\dfrac{\dfrac{\vec{v}\vec{w}}{\norm{\vec{w}}^2}}{\dfrac{κ}{λ}}=\dfrac{(λ\vec{v})(κ\vec{w})}{\norm{κ\vec{w}}^2}=\dfrac{λ\vec{v}}{κ\vec{w}}
\end{equation}
3. Εφαρμογή στις εξισώσεις
Εξίσωση με άγνωστο διάνυσμα
Αν $\vec{α}\neq 0$, τότε η εξίσωση $\vec{α}\vec{x}=\vec{β}$ έχει άπειρες λύσεις, τις $\vec{x}=\dfrac{\vec{β}}{\vec{α}}+\vec{α}_{\perp}$, όπου $\vec{α}_{\perp}$
αυθαίρετο κάθετο διάνυσμα στο $\vec{α}$.
Απόδειξη
Έστω $\vec{α}, \vec{v_k}$ ($k\in I$) μια ορθογώνια βάση του $\mathcal{V}$, η οποία περιλαμβάνει το $\vec{α}$.
Αφού πρόκειται περί βάσης $\vec{x}=λ\vec{α}+\sum_k \vec{v_k}$. Αντικαθιστώντας στην $\vec{α}\vec{x}=\vec{β}$ έχουμε λόγω της ορθογωνιότητας της βάσης:
\begin{equation} \label{eq1}
\vec{α}\left(λ\vec{α}+\sum_k \vec{v_k}\right)=\vec{β}\Leftrightarrow λ\vec{α}^2+\sum_k \vec{α}\vec{v_k}=\vec{β}
\Leftrightarrow λ\norm{\vec{α}}^2=\vec{β}\Leftrightarrow λ=\dfrac{\vec{β}}{\norm{\vec{α}}^2}
\end{equation}
Άρα, αφού κάθε κάθετο διάνυσμα στο $\vec{α}$ γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των $v_k$, έχουμε:
\begin{equation} \label{eq2}
\vec{x}=\dfrac{\vec{β}}{\norm{\vec{α}}^2}\vec{α}+\sum_k \vec{v_k}=\dfrac{\vec{β}}{\vec{α}}+\vec{α}_{\perp}
\end{equation}
Εξίσωση με άγνωστο αριθμό
Αν $\vec{α}\neq 0$ και $\vec{α}\parallel\vec{β}$, τότε η εξίσωση $\vec{α}x=\vec{β}$ έχει μοναδική λύση την $x=\dfrac{\vec{β}}{\vec{α}}$.
Απόδειξη
Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη του $\vec{α}x=\vec{β}$ με $\frac{1}{\vec{α}}$ έχουμε:
\begin{equation} \label{eq3}
\dfrac{1}{\vec{α}}\vec{α}x=\dfrac{1}{\vec{α}}\vec{β}\overset{Θ.2.4}{\Longleftrightarrow}\dfrac{\vec{α}}{\vec{α}}x=\dfrac{\vec{β}}{\vec{α}}
\overset{Θ.2.2}{\Longleftrightarrow}1x=\dfrac{\vec{β}}{\vec{α}}\Leftrightarrow x=\dfrac{\vec{β}}{\vec{α}}
\end{equation}