Μετασχηματισμοί
Μετασχηματισμοί Fourier
Clear["Global`*"]
p[x_] := Which[-1/2 < x < 1/2, 1, Abs[x] > 1/2, 0]
Plot[p[x], {x, -1, 1}]
Μετασχηματισμός με φυσική ερμηνεία: $\hat{f}(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-2\pi i st} d t$
FourierTransform[1, x, s, FourierParameters -> {0, -2 Pi}]
FourierTransform[p[x], x, s, FourierParameters -> {0, -2 Pi}]
InverseFourierTransform[Sin[π s]/(π s), s, x, FourierParameters -> {0, -2 Pi}] // Simplify
\[\frac{\sin(\pi s)}{\pi s}\]
\[(\frac{1}{2}) (Sign[\frac{1}{2}-x]+Sign[\frac{1}{2}+x])\]
Μετασχηματισμός Τραχανά (Μ.Δ.Ε.): $\hat{f}(s)={\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{- i st} d t$
FourierTransform[p[x], x, s]
InverseFourierTransform[(Sqrt[2/π] Sin[s/2])/s, s, x] // Simplify
FourierTransform[p[x], x, s, FourierParameters -> {0, 1}]
InverseFourierTransform[(Sqrt[2/π] Sin[s/2])/s, s, x, FourierParameters -> {0, 1}] // Simplify
\[\frac{(\sqrt{\frac{2}{\pi }}) \sin(\frac{s}{2})}{s}\]
\[(\frac{1}{2}) (Sign[\frac{1}{2}-x]+Sign[\frac{1}{2}+x])\]
\[\frac{(\sqrt{\frac{2}{\pi }}) \sin(\frac{s}{2})}{s}\]
\[(\frac{1}{2}) (Sign[\frac{1}{2}-x]+Sign[\frac{1}{2}+x])\]
Μετασχηματισμός ισοδύναμος που αναφέρει ο Τραχανάς: $\hat{f}(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{ i st} d t$
FourierTransform[p[x], x, s, FourierParameters -> {1, 1}]
InverseFourierTransform[(2 Sin[s/2])/s, s, x, FourierParameters -> {1, 1}] // Simplify
\[\frac{2 \sin(\frac{s}{2})}{s}\]
\[(\frac{1}{2}) (Sign[\frac{1}{2}-x]+Sign[\frac{1}{2}+x])\]
Μετασχηματισμοί Laplace
Clear["Global`*"]
f[x_] := x^2 Exp[x - a]
LaplaceTransform[f[x], x, s]
(* το f[s_] := LaplaceTransform[f[x],x,s] είναι πάρα πολύ ΑΡΓΟ *)
fL[t_] := Evaluate[%]
\[\frac{2 (E^{-a})}{{(-1+s)}^{3}}\]
InverseLaplaceTransform[(2 E^-a)/(-1 + s)^3, s, x]