C. I. Lewis: Υλική και αυστηρή συνεπαγωγή

1. Η συνεπαγωγή και η άλγεβρα της λογικής

C. I. Lewis, Mind, τόμ. 21, αρ. 84 (Οκτ. 1912), σσ. 522–531.

1.1 Εισαγωγή

Η ανάπτυξη της άλγεβρας της λογικής φέρνει στο φως δύο κάπως ανησυχητικά θεωρήματα: (1) μια ψευδής πρόταση συνεπάγεται οποιαδήποτε πρόταση, και (2) μια αληθής πρόταση συνεπάγεται από οποιαδήποτε πρόταση. Δεν είναι τα μόνα θεωρήματα της άλγεβρας που φαίνονται ύποπτα στην κοινή λογική, όμως η σαρωτική γενικότητά τους έχει τραβήξει ιδιαίτερα την προσοχή. Καθαυτά, δεν είναι ούτε μυστηριώδεις ρήσεις, ούτε μεγάλες ανακαλύψεις, ούτε χονδροειδείς παραλογισμοί. Δείχνουν απλώς, με καθαρά περιγράμματα, το νόημα του «συνεπάγεται» που έχει ενσωματωθεί στην άλγεβρα. Ποιο είναι αυτό το νόημα, ποια τα χαρακτηριστικά και οι περιορισμοί του, και ποια η σχέση του με το «συνεπάγεται» του συνήθους έγκυρου συμπερασμού (inference): αυτό είναι το αντικείμενο της παρούσας εργασίας.

Μια τέτοια απόπειρα θα ήταν ίσως περιττή, αν δεν υπήρχαν ορισμένες συγχύσεις ερμηνείας και αν οι εκθέτες της άλγεβρας της λογικής δεν παρέλειπαν συχνά να επισημάνουν ότι το αλγεβρικό και το κοινό νόημα της συνεπαγωγής διαφέρουν. Μπορεί κανείς να υποψιαστεί ότι κάποιοι από αυτούς θα αρνούνταν τη διαφορά ή τουλάχιστον θα υποστήριζαν ότι η τεχνική χρήση είναι προτιμότερη και πρέπει γενικά να υιοθετηθεί. Ως αποτέλεσμα, η συμβολική λογική φαίνεται στον αρχάριο κάπως σαν enfant terrible, που τον εκφοβίζει με την παράταξη των ακριβών αποδείξεών της και απαιτεί να δεχτεί ακατανόητα αποτελέσματα.

Στην άλγεβρα της λογικής, το «το $p$ συνεπάγεται το $q$» ορίζεται ως «είτε το $p$ είναι ψευδές είτε το $q$ είναι αληθές»: $(p \supset q) = (\sim p \vee q)$ κατά τον ορισμό.1 Αλλά αυτή η τελευταία έκφραση είναι διφορούμενη. Η συνεπαγωγή ορίζεται μέσω της διάζευξης, όμως οι προτάσεις «είτε–είτε» έχουν τουλάχιστον τρία διαφορετικά νοήματα. Ένα από αυτά αποκλείεται όταν καταλάβουμε ότι το «$p$ ή $q$» δεν πρέπει να εξαιρεί το ενδεχόμενο να είναι αληθή και τα δύο· οι διαζεύξεις στην άλγεβρα δεν σημαίνουν αμοιβαίο αποκλεισμό. Παραμένουν δύο νοήματα· η συνεπαγωγή της άλγεβρας της λογικής σχετίζεται με το ένα από αυτά όπως η αριστοτελική «συνεπαγωγή» με το άλλο. Εξ ου και η ανάγκη να διακρίνουμε προσεκτικά ανάμεσα σε αυτά τα δύο είδη διάζευξης.

1.2 Εκτασιακή (extensional) και εντασιακή (intensional) διάζευξη

Συγκρίνετε, αν θέλετε, τις διαζεύξεις: (1) Είτε ο Καίσαρας πέθανε είτε το φεγγάρι είναι από πράσινο τυρί, και (2) Είτε η Ματίλντα δεν με αγαπά είτε είμαι αγαπημένος. Και στις δύο περιπτώσεις τουλάχιστον μία από τις διαζευγμένες προτάσεις είναι αληθής. Η διαφορά ανάμεσα στις δύο μπορεί να εκφραστεί με διάφορους τρόπους. Η δεύτερη διάζευξη είναι τέτοια ώστε τουλάχιστον μία από τις διαζευγμένες προτάσεις να είναι «κατ’ ανάγκην» αληθής. Απορρίψτε οποιοδήποτε από τα δύο ενδεχόμενα και με αυτό ακριβώς αποδέχεστε το άλλο. Υποθέστε ψευδή μία από τις προτάσεις της και είστε, για λόγους συνέπειας, υποχρεωμένοι να υποθέσετε αληθή την άλλη. Αν οποιοδήποτε λήμμα (lemma) ήταν ψευδές, το άλλο θα ήταν, εκ του ίδιου λόγου, αληθές. Τίποτε από αυτά δεν ισχύει για την πρώτη διάζευξη. Τουλάχιστον μία από τις προτάσεις της είναι, de facto, αληθής. Αλλά το να υποθέσει κανείς ψευδές ότι ο Καίσαρας πέθανε δεν θα τον υποχρέωνε να υποθέσει ότι το φεγγάρι είναι από πράσινο τυρί. Αν το «ο Καίσαρας πέθανε» ήταν ψευδές, το φεγγάρι δεν θα ήταν κατ’ ανάγκην από πράσινο τυρί —αν οι συνθήκες αντίθετες προς το γεγονός έχουν οποιοδήποτε νόημα. Αυτό ακριβώς είναι που η άλγεβρα, σύμφωνα με το νόημά της για τη διάζευξη και τη συνεπαγωγή, είναι υποχρεωμένη να αρνείται.

1.3 Η σημαντικότερη διάκριση

Η πιο σημαντική διάκριση, ωστόσο, μένει να σημειωθεί. Η δεύτερη διάζευξη είναι τέτοια ώστε η αλήθειά της να είναι ανεξάρτητη από την αλήθεια οποιουδήποτε μέλους της, εξεταζόμενου χωριστά. Ή, με μεγαλύτερη ακρίβεια, η αλήθειά της μπορεί να είναι γνωστή ενώ παραμένει προβληματικό ποιο από τα μέλη της είναι το αληθές. Έχει μια αλήθεια προγενέστερη από τον προσδιορισμό των σχετικών γεγονότων. Η αλήθεια του «Είτε ο Καίσαρας πέθανε είτε το φεγγάρι είναι από πράσινο τυρί» δεν έχει αυτόν τον καθαρά λογικό ή τυπικό χαρακτήρα· της λείπει αυτή η ανεξαρτησία από τα γεγονότα. Η αντίφασή της δεν θα ξάφνιαζε έναν λογικό νου που αγνοεί την ιστορία.

Χρειάζεται προσεκτική ανάλυση για να διαχωριστούν αυτά τα δύο νοήματα των προτάσεων «είτε–είτε», αν και τα κύρια χαρακτηριστικά τους φαίνονται αρκετά διακριτά. Τις διαζεύξεις όπως η (1), των οποίων η αλήθεια δεν μπορεί να γνωστεί χωρίς τα γεγονότα, μπορούμε να τις ονομάσουμε εκτασιακές (extensional)· εκείνες του τύπου (2), των οποίων η αλήθεια μπορεί να γνωστεί ενώ παραμένει προβληματικό ποιο μέλος είναι αληθές —ή αν είναι αληθή και τα δύο— μπορούμε να τις ονομάσουμε εντασιακές (intensional). Οι δύο αυτές διακρίνονται περαιτέρω αν εξετάσουμε τις αρνήσεις τους. Αν κάποιος θεωρήσει ψευδή τη δήλωση «Είτε ο Καίσαρας πέθανε είτε το φεγγάρι είναι από πράσινο τυρί», μπορεί να εννοεί ότι μια ορισμένη σχέση αποδίδεται εσφαλμένα στις δύο προτάσεις «ο Καίσαρας πέθανε» και «το φεγγάρι είναι από πράσινο τυρί». Αν ο Smith δηλώσει «Είτε το όνομά μου δεν είναι Smith είτε αυτό είναι το καπέλο μου», κάποιος θα μπορούσε να απαντήσει: «Όχι, κάνετε λάθος· μπορεί να υπάρχουν στην αίθουσα άλλοι Smith με τα ονόματά τους μέσα στα καπέλα τους». Δεν αρνείται κανείς ότι ο Smith γνωρίζει το όνομά του ή ότι αυτό είναι το καπέλο του. Αρνείται μόνο ότι η δήλωσή του εξαντλεί τα ενδεχόμενα. Η άρνηση της εντασιακής διάζευξης είναι, λοιπόν, η άρνηση της ίδιας της διαζευκτικής σχέσης και όχι η άρνηση κάποιου από τα μέλη της.

Ας πάρουμε ένα ακόμη παράδειγμα: (3) «Είτε το Λονδίνο είναι στην Αγγλία είτε το Παρίσι είναι στη Γαλλία». Μπορεί κανείς να αρνηθεί ότι εδώ εμπλέκεται οποιαδήποτε «αναγκαία» διάζευξη, αν και κάθε μισό της δήλωσης είναι αληθές από μόνο του. Αν ένα μέλος της διάζευξης ήταν ψευδές, η αλήθεια ή το ψεύδος του άλλου δεν θα επηρεαζόταν. Ίσως δεν μπορούμε ποτέ να είμαστε βέβαιοι για το ενδεχόμενο μιας τέτοιας αντίθετης προς το γεγονός συνθήκης· παρ’ όλα αυτά ξέρουμε τι εννοούμε όταν την υποθέτουμε. Η άρνηση της εντασιακής διάζευξης είναι, επομένως, η άρνηση μιας λογικής σχέσης ανάμεσα σε προτάσεις και είναι απολύτως συμβατή με την αλήθεια του ενός ή και των δύο διαζευγμένων ισχυρισμών. Αρνείται κανείς μόνο ότι η διάζευξη έχει κάποια αλήθεια ανεξάρτητα από τα συγκεκριμένα γεγονότα.

Η άρνηση της εκτασιακής διάζευξης είναι η άρνηση και των δύο μελών της. Αν πάρουμε το «είτε–είτε» ως προς την έκτασή του, ούτε η (1) ούτε η (3) μπορεί να αρνηθεί. Η αλήθεια της εκτασιακής διάζευξης διασφαλίζεται από την αλήθεια οποιουδήποτε μέλους της, ανεξάρτητα από «λογικές συνδέσεις», και η άρνησή της συνεπώς αρνείται και τις δύο διαζευγμένες προτάσεις.

1.4 Η άλγεβρα πραγματεύεται μόνο την εκτασιακή διάζευξη

Ότι η έννοια της διάζευξης στην άλγεβρα της λογικής πρέπει συνεπώς να περιορίζεται στην εκτασιακή, προκύπτει από το γεγονός ότι, στην άλγεβρα, η άρνηση μιας διάζευξης είναι η άρνηση και των δύο μελών της, $\sim(p \vee q) = \sim p\,\sim q$,2 και η άρνηση ενός «γινομένου» —π.χ. «και το $p$ και το $q$ είναι αληθή»— είναι η διάζευξη των αρνήσεων των παραγόντων του, $\sim(pq) = (\sim p \vee \sim q)$. Κάθε εντασιακή διάζευξη είναι επίσης εκτασιακή· ακριβέστερα, η εντασιακή διάζευξη των $p$ και $q$ συνεπάγεται και την εκτασιακή διάζευξή τους. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει. Σε κάθε εντασιακή διάζευξη τουλάχιστον ένα μέλος είναι αληθές· αλλά δεν είναι κάθε πρόταση «είτε… είτε» με τουλάχιστον ένα αληθές μέλος εντασιακή διάζευξη. Αν, ωστόσο, κάποιος υποθέσει ότι η άλγεβρα μπορεί να πραγματευθεί τις εντασιακές διαζεύξεις «επειδή αποτελούν ειδική κατηγορία εκτασιακών διαζεύξεων», ας σκεφτεί ότι, αρνούμενη οποιαδήποτε διάζευξη, η άλγεβρα αρνείται και τα δύο μέλη της. Αν τα $p$ και $q$ είναι διαζευγμένα και εκτασιακά και εντασιακά, η άλγεβρα πραγματεύεται και πάλι μόνο την εκτασιακή τους διάζευξη. Ότι αυτό δεν είναι απλή «λογική ψιλολογία» θα φανεί όταν φτάσουμε στη μετατροπή των διαζεύξεων σε συνεπαγωγές.

1.5 Δύο ακόμη χαρακτηριστικά της εντασιακής διάζευξης

Πριν αφήσουμε το θέμα των διαζεύξεων, πρέπει να σημειώσουμε δύο ακόμη χαρακτηριστικά της εντασιακής ποικιλίας. Μια γνήσια εντασιακή διάζευξη δεν υφίσταται, βέβαια, καμία αλλοίωση της λογικής της φύσης αν ένα από τα μέλη της είναι γνωστό ως ψευδές, ή ως αληθές, ή όταν είναι γνωστά και τα δύο. Το «Είτε η Ματίλντα δεν με αγαπά είτε είμαι αγαπημένος» δεν χάνει τίποτε από τον εντασιακό του χαρακτήρα αν ανακαλυφθεί ότι η Ματίλντα όντως δεν με αγαπά, ή ότι είμαι πράγματι αγαπημένος. Στην επιχειρηματολογία, κανείς παράγει ένα δίλημμα3 με σκοπό να εισαγάγει αργότερα το ψεύδος του ενός μέλους και έτσι να αποδείξει την αλήθεια του άλλου. Το δίλημμα έχει το ίδιο νόημα για τον ομιλητή που γνωρίζει τη λύση του και για τον ακροατή που δεν τη γνωρίζει. Ο χαρακτήρας του ως εντασιακής διάζευξης μαρτυρείται από το γεγονός ότι ο ακροατής μπορεί να γνωρίζει την αλήθειά του πριν γνωρίσει τη λύση, και από το ότι ομιλητής και ακροατής, αφού φτάσουν στη λύση, παραμένουν δεσμευμένοι από τη συνθήκη που αποδεικνύεται αντίθετη προς το γεγονός. Αν το αληθές μέλος ήταν ψευδές, το άλλο θα ήταν αναγκαστικά αληθές.

Επιπλέον, η εντασιακή διάζευξη δεν περιορίζεται στον καθαρά τυπικό ή a priori τύπο της (2). Ας υποθέσουμε μια απολύτως αξιόπιστη πρόγνωση καιρού για τις 16 του μήνα: «Ζέστη». Αυτή συνεπάγεται ότι (4) είτε σήμερα δεν είναι 16 είτε ο καιρός είναι ζεστός. Με την υπόθεση αυτή, πρόκειται για εντασιακή διάζευξη. Θα μπορούσε κανείς να γνωρίζει την αλήθειά της ακόμη κι αν δεν έβρισκε ημερολόγιο και υπέφερε από ρίγη και πυρετό. Αν όμως απαλείψουμε την αρχική υπόθεση, η διάζευξη, αν παραμένει αληθής, γίνεται εκτασιακή· η γνώση της αλήθειάς της εξαρτάται πλέον από την επαλήθευση του ενός ή και των δύο μελών της. Μπορούμε να πούμε ότι η εκτασιακή διάζευξη αφορά πραγματικότητες (actualities), ενώ η εντασιακή δυνατότητες. Δοθέντος όμως ενός ή περισσότερων γεγονότων, οι δυνατότητες περιορίζονται, και μια εντασιακή διάζευξη που δεν είναι a priori μπορεί να είναι συνεπαγόμενη.

1.6 Η μετατροπή των διαζεύξεων σε συνεπαγωγές

Όπως ειπώθηκε, η εντασιακή διάζευξη σχετίζεται με τη συμπερασματική ή «αυστηρή» συνεπαγωγή4 όπως η εκτασιακή διάζευξη με την αλγεβρική ή «υλική» συνεπαγωγή. Οι εντασιακές διαζεύξεις, όταν μετατρέπονται σε συνεπαγωγές σύμφωνα με την ισοδυναμία που θέτει η άλγεβρα, γίνονται αυστηρές συνεπαγωγές. Οι εκτασιακές διαζεύξεις, με τον ίδιο κανόνα, παράγουν υλικές συνεπαγωγές. Και στις δύο περιπτώσεις το «το $p$ συνεπάγεται το $q$» είναι ισοδύναμο με το «είτε το $p$ είναι ψευδές είτε το $q$ αληθές», δηλαδή με το «είτε όχι-$p$ είτε $q$» [$(p \supset q) = (\sim p \vee q)$ κατά τον ορισμό].

Ας πάρουμε τις εντασιακές διαζεύξεις. Αν το $p$ παριστά το «Η Ματίλντα με αγαπά» και το $q$ το «Είμαι αγαπημένος», το παράδειγμα (2) δηλώνει ακριβώς το «είτε όχι-$p$ είτε $q$». Το «Είτε η Ματίλντα δεν με αγαπά είτε είμαι αγαπημένος» ισοδυναμεί με το «Η Ματίλντα με αγαπά συνεπάγεται ότι είμαι αγαπημένος». Εφόσον το «είτε… είτε» δηλώνει αντιστρέψιμη σχέση, μπορούμε εξίσου να θέσουμε το $p$ ως «Είμαι αγαπημένος» και το $q$ ως «Η Ματίλντα δεν με αγαπά». Το «όχι-$p$ συνεπάγεται $q$» θα διαβάζεται τότε: «Δεν είμαι αγαπημένος» συνεπάγεται ότι «Η Ματίλντα δεν με αγαπά». Με την ίδια διαδικασία, το (4) —«Είτε σήμερα δεν είναι 16 είτε ο καιρός είναι ζεστός»— μπορεί να μετασχηματιστεί σε «Σήμερα είναι 16 συνεπάγεται ότι ο καιρός είναι ζεστός» και σε «Ο καιρός δεν είναι ζεστός συνεπάγεται ότι σήμερα δεν είναι 16». Θυμόμενοι ότι το (4) είναι εντασιακή διάζευξη μόνο υπό το φως μιας ορισμένης προϋπόθεσης, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι και σε αυτή την περίπτωση η εντασιακή διάζευξη παράγει αυστηρή συνεπαγωγή.

Αν τα $p$ και $q$ είναι εντασιακά διαζευγμένα, τότε —είτε το $p$, είτε το $q$, είτε και τα δύο είναι, de facto, αληθή— αν το $p$ ήταν ψευδές, το $q$ θα ήταν αληθές. Το όχι-$p$ συνεπάγεται το $q$ υπό το συνήθες νόημα του «συνεπάγεται». Επίσης, αν το $q$ ήταν ψευδές, το $p$ θα ήταν αληθές· το $p$ μπορεί να συναχθεί εγκύρως από την πρόταση που αρνείται το $q$.

1.7 Τα «παράδοξα» ως συνεπαγωγές της άλγεβρας

Τα παραδείγματα (1) και (3) είναι εκτασιακές διαζεύξεις. Αν το $p$ παριστά το «Ο Καίσαρας πέθανε» και το $q$ το «Το φεγγάρι είναι από πράσινο τυρί», το «όχι-$p$ συνεπάγεται $q$» θα διαβάζεται: «Ο Καίσαρας δεν πέθανε» συνεπάγεται ότι «το φεγγάρι είναι από πράσινο τυρί». Εναλλάσσοντας τα $p$ και $q$ —αφού το «είτε… είτε» είναι αντιστρέψιμο— έχουμε: «Το φεγγάρι δεν είναι από πράσινο τυρί» συνεπάγεται ότι «ο Καίσαρας πέθανε». Έτσι παίρνουμε τις συνεπαγωγές της άλγεβρας. Η πρώτη είναι καλό παράδειγμα του νοήματος με το οποίο μια ψευδής πρόταση συνεπάγεται οτιδήποτε· η δεύτερη δείχνει καλά πώς μια αληθής πρόταση μπορεί να συνεπάγεται από οποιαδήποτε πρόταση.

Με την ίδια μέθοδο, το (3) «είτε το Λονδίνο είναι στην Αγγλία είτε το Παρίσι είναι στη Γαλλία» μας δίνει: «Το Λονδίνο δεν είναι στην Αγγλία» συνεπάγεται ότι «το Παρίσι είναι στη Γαλλία», και «Το Παρίσι δεν είναι στη Γαλλία» συνεπάγεται ότι «το Λονδίνο είναι στην Αγγλία». Καθεμία από αυτές μπορεί να θεωρηθεί περίπτωση ψευδούς πρότασης που συνεπάγεται οποιαδήποτε πρόταση και, συγχρόνως, αληθούς πρότασης που συνεπάγεται από οποιαδήποτε. Οποιεσδήποτε δύο αληθείς προτάσεις θα μπορούσαν να είχαν τεθεί στη θέση των «Το Λονδίνο είναι στην Αγγλία» και «Το Παρίσι είναι στη Γαλλία»· οι συνεπαγωγές θα προέκυπταν με τον ίδιο τρόπο. Η άρνηση της μιας θα συνεπαγόταν την άλλη· η άρνηση της άλλης, τη μία.

1.8 Τι σημαίνει η άρνηση της συνεπαγωγής

Για να γίνει σαφέστερο ότι η συνεπαγωγή δεν έχει στην άλγεβρα καμία άλλη σημασία πέρα από εκείνη που εμφανίζεται στους μετασχηματισμούς των (1) και (3), ας εξετάσουμε τι εμπλέκεται στην άρνηση της αλγεβρικής σχέσης συνεπαγωγής. Ας πάρουμε οποιαδήποτε ψευδή πρόταση $p$ —π.χ. «Η Ρώμη καίγεται ακόμη»— και οποιαδήποτε αληθή $q$ —π.χ. «Τα Χριστούγεννα έρχονται». Αμέσως η εκτασιακή διάζευξη «είτε το $p$ είναι ψευδές είτε το $q$ αληθές» ικανοποιείται —μόνο από το ψεύδος του $p$, ή μόνο από την αλήθεια του $q$— και έπεται ότι το $p$ συνεπάγεται το $q$ [$(p \supset q) = (\sim p \vee q)$ κατά τον ορισμό]. Το να αρνηθεί κανείς ότι το $p$ συνεπάγεται το $q$ σημαίνει να αρνηθεί την ισοδύναμη διάζευξη «Είτε το $p$ είναι ψευδές είτε το $q$ αληθές» [$\sim(p \supset q) = \sim(\sim p \vee q)$]. Το να αρνηθεί αυτή τη διάζευξη σημαίνει, σύμφωνα με την άλγεβρα, να αρνηθεί την αλήθεια και των δύο μελών της, δηλαδή να βεβαιώσει το $p$ και να αρνηθεί το $q$ [$\sim(\sim p \vee q) = p\,\sim q$]. Έτσι, αν κάποιος θέλει να αρνηθεί ότι το «Η Ρώμη καίγεται ακόμη» συνεπάγεται το «Τα Χριστούγεννα έρχονται», πρέπει να βεβαιώσει ότι η Ρώμη καίγεται ακόμη και να αρνηθεί την έλευση των Χριστουγέννων.

Ή μπορούμε να πάρουμε δύο οποιεσδήποτε προβληματικές προτάσεις, π.χ. ($p$) «Ο Swift παντρεύτηκε τη Stella» και ($q$) «Υπάρχουν άλλα σύμπαντα πέρα από το δικό μας». Αμέσως μπορούμε να βεβαιώσουμε, σύμφωνα με την άλγεβρα, ότι αν το $p$ δεν συνεπάγεται το $q$, τότε το $q$ συνεπάγεται το $p$. Αν το $p$ είναι ψευδές, αυτό και μόνο ικανοποιεί την εκτασιακή διάζευξη «Είτε το $p$ είναι ψευδές είτε το $q$ αληθές» και αποδεικνύει ότι το $p$ συνεπάγεται το $q$. Το ίδιο ισχύει αν το $q$ είναι αληθές. Αν το $p$ είναι αληθές και το $q$ ψευδές —η μόνη περίπτωση στην οποία το $p$ δεν συνεπάγεται το $q$— τότε είναι αμέσως διπλά βέβαιο ότι το $q$ συνεπάγεται το $p$. Από δύο οποιεσδήποτε ψευδείς προτάσεις, η καθεμία συνεπάγεται την άλλη· και ομοίως, από δύο οποιεσδήποτε αληθείς, η καθεμία συνεπάγεται από την άλλη. Αν η μία από δύο προτάσεις είναι ψευδής και η άλλη αληθής, η πρώτη συνεπάγεται τη δεύτερη. Είτε το «Ο Swift παντρεύτηκε τη Stella» συνεπάγεται ότι «υπάρχουν άλλα σύμπαντα πέρα από το δικό μας», είτε το «υπάρχουν άλλα σύμπαντα πέρα από το δικό μας» συνεπάγεται ότι «ο Swift παντρεύτηκε τη Stella». Και υπάρχει ίση πιθανότητα (even chance) η συνεπαγωγή να είναι αμοιβαία. Πράγματι, η άλγεβρα της λογικής μάς επιτρέπει να κάνουμε αυτούς τους ισχυρισμούς πριν από κάθε γνώση του περιεχομένου των $p$ και $q$ και ανεξάρτητα από οτιδήποτε θα αποκαλούνταν συνήθως λογική τους σημασία.

1.9 Η αρχή της πρόσθεσης

Τα περισσότερα θεωρήματα της άλγεβρας επιδέχονται παραδειγματοποίηση (exemplification) στο πεδίο των αυστηρών συνεπαγωγών και των εντασιακών διαζεύξεων. Εκτός από εκείνα που περιλαμβάνουν την άρνηση μιας διάζευξης, υπάρχουν μόνο λίγα που δεν την επιδέχονται. Όλα αυτά είναι αποτελέσματα μιας και μόνης παραδοχής του λογισμού των προτάσεων, της λεγόμενης αρχής της πρόσθεσης (principle of addition). Η αρχή αυτή δηλώνει ότι το $p$ συνεπάγεται «είτε $p$ είτε $q$»: αν το $p$ είναι αληθές, τότε είτε το $p$ είτε οποιαδήποτε άλλη πρόταση $q$ είναι αληθής, $[p \supset (p \vee q)]$. Το έχουμε ήδη σημειώσει παρατηρώντας ότι μια εκτασιακή διάζευξη ικανοποιείται απλώς από το γεγονός ότι ένα από τα μέλη της είναι αληθές. Ότι η αρχή αυτή είναι τυπικά ψευδής για τις εντασιακές διαζεύξεις είναι φανερό όταν σημειώσουμε ότι —με την αυστηρή έννοια του «συνεπάγεται»— το $p$ δεν συνεπάγεται ότι, αν το $p$ ήταν ψευδές, οποιαδήποτε άλλη πρόταση $q$ θα ήταν αναγκαστικά αληθής. Από το γεγονός ότι σήμερα είναι Δευτέρα, δεν μπορούμε να συναγάγουμε ότι, αν σήμερα δεν ήταν Δευτέρα, η σοδειά του καλαμποκιού θα καταστρεφόταν.

1.10 Οι αποδείξεις των δύο θεωρημάτων

Υποθέτοντας ότι «το $p$ συνεπάγεται (είτε $p$ είτε $q$)», η απόδειξη ότι μια ψευδής πρόταση συνεπάγεται οποιαδήποτε πρόταση είναι σύντομη και εύκολη. Αντικαθιστώντας το όχι-$p$ (το $p$ είναι ψευδές) στη θέση του $p$, έχουμε: «το όχι-$p$ συνεπάγεται (είτε όχι-$p$ είτε $q$)». Αντικαθιστώντας το «είτε όχι-$p$ είτε $q$» με το ορισμένο ισοδύναμό του «το $p$ συνεπάγεται το $q$», προκύπτει: το όχι-$p$ συνεπάγεται ότι «το $p$ συνεπάγεται το $q$»· δηλαδή το «το $p$ είναι ψευδές» συνεπάγεται ότι «το $p$ συνεπάγεται οποιαδήποτε άλλη πρόταση, $q$». Αν ή όταν το $p$ είναι ψευδές, έπεται η συνέπεια «το $p$ συνεπάγεται το $q$». Μια ψευδής πρόταση συνεπάγεται οτιδήποτε. Η απόδειξη με σύμβολα: Πρόσθεση — $p \supset (p \vee q)$. Αντικαθιστώντας παντού το $\sim p$ στη θέση του $p$: $\sim p \supset (\sim p \vee q)$. Και $(\sim p \vee q) = (p \supset q)$, κατά τον ορισμό. Άρα $\sim p \supset (p \supset q)$.

Η απόδειξη ότι μια αληθής πρόταση συνεπάγεται από οποιαδήποτε πρόταση απαιτεί μία επιπλέον αρχή: ότι οι διαζεύξεις είναι αντιστρέψιμες, $[(p \vee q) = (q \vee p)]$. Υποθέτοντας ότι «το $p$ συνεπάγεται (είτε $p$ είτε $q$)», μπορούμε να αντιστρέψουμε τη διάζευξη και να πάρουμε «το $p$ συνεπάγεται (είτε $q$ είτε $p$)». Αντικαθιστώντας το όχι-$q$ στη θέση του $q$: «το $p$ συνεπάγεται (είτε όχι-$q$ είτε $p$)». Αντικαθιστώντας αυτή τη διάζευξη με το ισοδύναμό της «το $q$ συνεπάγεται το $p$», το αποτέλεσμα είναι: «το $p$ συνεπάγεται ότι το $q$ συνεπάγεται το $p$». Αν το $p$ είναι αληθές, είναι επίσης αληθές ότι οποιαδήποτε άλλη πρόταση $q$ συνεπάγεται το $p$. Μια αληθής πρόταση συνεπάγεται από οποιαδήποτε πρόταση. Με σύμβολα: Πρόσθεση — $p \supset (p \vee q)$. $(p \vee q) = (q \vee p)$. Αντικαθιστώντας το $\sim q$ στη θέση του $q$: $p \supset (\sim q \vee p)$. Και $(\sim q \vee p) = (q \supset p)$, κατά τον ορισμό. Άρα $p \supset (q \supset p)$.

1.11 Ο σοβαρότερος περιορισμός της υλικής συνεπαγωγής

Η ύπαρξη αυτών των δύο θεωρημάτων στην άλγεβρα φέρνει στο φως τον πιο σοβαρό περιορισμό της αλγεβρικής ή υλικής συνεπαγωγής. Μία από τις σημαντικές πρακτικές χρήσεις της συνεπαγωγής είναι ο έλεγχος υποθέσεων των οποίων η αλήθεια ή το ψεύδος είναι προβληματικό. Η αλγεβρική συνεπαγωγή δεν έχει εφαρμογή εδώ. Αν η υπόθεση τυχαίνει να είναι ψευδής, συνεπάγεται ό,τι θέλει κανείς. Αν βρει κανείς γεγονότα $x$, $y$, $z$, κατά τα άλλα απροσδόκητα αλλά υποδεικνυόμενα από την υπόθεση, η αλήθεια αυτών των γεγονότων συνεπάγεται από την υπόθεση, είτε η υπόθεση είναι αληθής είτε όχι —εφόσον κάθε αληθής πρόταση συνεπάγεται από όλες τις άλλες. Με άλλα λόγια, καμία πρόταση δεν θα μπορούσε να επαληθευτεί από τις λογικές της συνέπειες. Αν η πρόταση είναι ψευδής, έχει αυτές τις «συνέπειες» ούτως ή άλλως. Ομοίως, καμία αντίθετη προς το γεγονός συνθήκη δεν θα μπορούσε να έχει λογική σημασία, είτε τυχαίνει να γνωρίζουμε ότι είναι αντίθετη προς το γεγονός είτε όχι. Διότι, αν το γεγονός είναι αλλιώς, η πρόταση που διατυπώνει την υπόθεση συνεπάγεται οτιδήποτε και τα πάντα. Στη συνήθη και «κατάλληλη» χρήση του «συνεπάγεται», ορισμένα συμπεράσματα μπορούν να συναχθούν εγκύρως από αντίθετες προς το γεγονός υποθέσεις, ενώ ορισμένα άλλα όχι. Οι υποθέσεις των οποίων η αλήθεια είναι προβληματική έχουν λογικές συνέπειες ανεξάρτητες από την αλήθεια ή το ψεύδος τους. Αυτές είναι οι ζωτικές διακρίσεις του συνήθους νοήματος του «συνεπάγεται» —για το οποίο το «το $p$ συνεπάγεται το $q$» ισοδυναμεί με το «το $q$ μπορεί να συναχθεί εγκύρως από το $p$»— από εκείνη τη συνεπαγωγή που εμφανίζεται στην άλγεβρα.

1.12 Ο ορισμός ως σύμβαση

Ότι ο ορισμός της συνεπαγωγής με όρους εκτασιακής διάζευξης συμφωνεί με οποιοδήποτε συνήθες ή χρήσιμο νόημα του όρου, δύσκολα μπορεί να υποστηριχθεί με επιτυχία. Δεν μπορεί, ωστόσο, ως προς έναν τέτοιο ορισμό, να τίθεται ζήτημα αλήθειας ή ψεύδους με τη συνήθη έννοια. Ως μία από τις παραδοχές ή συμβάσεις του λογισμού των προτάσεων, ο ορισμός αντιπροσωπεύει μόνο την ακριβή διατύπωση του τρόπου με τον οποίο οι εκφράσεις πρέπει να εξισώνονται ή να αντικαθίστανται η μία από την άλλη. Εφόσον είναι δυνατό να εξισωθούν χωρίς αντίφαση, είναι χωρίς νόημα να χαρακτηριστούν οι εξισώσεις ως ψευδείς.

Μπορούμε, ωστόσο, να αντιταχθούμε στον ορισμό με το σκεπτικό ότι είναι δυνατός ένας χρησιμότερος· και αυτό θα ισχύει ιδιαίτερα όταν το υπό εξέταση σύστημα είναι, όπως η λογική, ένα σύστημα που επιθυμούμε να εφαρμόσουμε σε κάποιον τομέα της πρακτικής ανθρώπινης δραστηριότητας. Ο παρών λογισμός των προτάσεων είναι «μη αληθής» με την έννοια με την οποία είναι «μη αληθής» η μη-ευκλείδεια γεωμετρία· και μπορούμε να κατηγορήσουμε τον λογικό που αγνοεί τις ανάγκες μας, όπως οι αρχαίοι θα μπορούσαν να κατηγορήσουν τον Ευκλείδη, αν είχε ασχοληθεί υπερβολικά αποκλειστικά με τις συνέπειες ενός διαφορετικού αιτήματος των παραλλήλων.

1.13 Προς έναν νέο λογισμό

Τίποτε από όσα προηγήθηκαν δεν πρέπει να εκληφθεί ως υπαινιγμός ότι η άλγεβρα της λογικής είναι αναγκαστικά ανεπαρκής για το έργο του συμβολισμού λογικών διαδικασιών, όπως η συναγωγή συμπερασμάτων και η απόδειξη, ή των γενικότερων διαδικασιών που η ίδια η άλγεβρα έχει την αξία να φέρνει στο φως. Τα συμπεράσματά μας στρέφονται όχι κατά της συμβολικής λογικής εν γένει, αλλά κατά του λογισμού των προτάσεων στην παρούσα μορφή του. Στην πραγματικότητα, μερικές απλές αλλαγές θα αφαιρούσαν όλες τις «παραλογίες» (absurdities) από τον παρόντα λογισμό και θα τον έφερναν σε συμφωνία με το αυστηρό νόημα της συνεπαγωγής. Η αρχή της πρόσθεσης —το $p$ συνεπάγεται «είτε το $p$ είτε το $q$ είναι αληθές»— είναι το μόνο από τα αξιώματα ενός οικονομικού συνόλου του παρόντος λογισμού5 που είναι ψευδές για το εντασιακό νόημα της διάζευξης και, κατά συνέπεια, για την αυστηρή συνεπαγωγή. Αν αυτή αφαιρούνταν και η διάζευξη περιοριζόταν —ως ζήτημα ερμηνείας— στην εντασιακή ποικιλία, θα βρισκόμασταν σε καλό δρόμο προς έναν νέο λογισμό.

Μία ακόμη αλλαγή θα ήταν αναγκαία. Η ισοδυναμία των «γινομένων» με τις αρνήσεις των διαζεύξεων, και των αρνήσεων των γινομένων με διαζεύξεις, $[pq = \sim(\sim p \vee \sim q)$, και $\sim(pq) = (\sim p \vee \sim q)]$, είναι ασυμβίβαστη με τον αποκλεισμό των καθαρά εκτασιακών διαζεύξεων.6 Το γινόμενο $pq$ —«το $p$ και το $q$ είναι και τα δύο αληθή»— θα εμφανιζόταν, συνεπώς, ως νέο απροσδιόριστο (indefinable), αν και ικανό για σαφή ερμηνεία. Στη θέση της αρχής της πρόσθεσης θα υποτίθετο η αρχή της απλοποίησης (simplification): «το $p$ και το $q$ είναι και τα δύο αληθή» συνεπάγεται «το $p$ είναι αληθές» $[pq \supset p]$. Η «πρόσθεση» δεν θα μπορούσε πλέον να παραχθεί από αυτήν, όπως τώρα, αφού οι αρνήσεις των διαζεύξεων και των γινομένων δεν θα είχαν συμβολικά ισοδύναμα.7 Μια προσεκτική ανάλυση του τι συνεπάγονται αυτές οι αλλαγές οδηγεί κάποιον να ανακαλύψει ορισμένες ασάφειες και συγχύσεις που υπάρχουν ακόμη και σε ό,τι συνήθως περνά για υγιή συλλογισμό.

1.14 Μια πιο καρποφόρα εναλλακτική

Μια εναλλακτική και πιο καρποφόρα μέθοδος ανάπτυξης του λογισμού της αυστηρής συνεπαγωγής θα ήταν να διατηρηθούν και η εκτασιακή και η εντασιακή διάζευξη, να συμβολιστούν διαφορετικά, και να οριστεί η συνεπαγωγή μόνο με όρους εντασιακής διάζευξης. Η εκτασιακή διάζευξη θα είχε τώρα την άρνησή της σε ένα γινόμενο, όπως ισχύει σήμερα, και η αρχή της πρόσθεσης θα μπορούσε να διατηρηθεί, αλλά μόνο για την εκτασιακή διάζευξη. Κατά συνέπεια, θεωρήματα όπως το «μια ψευδής πρόταση συνεπάγεται οποιαδήποτε πρόταση» θα εξακολουθούσαν να μην εμφανίζονται, ενώ η αρχή της απλοποίησης $[pq \supset p]$ θα μπορούσε να παραχθεί αντί να υποτεθεί. Αυτός ο δεύτερος τρόπος ανάπτυξης θα παρήγαγε έναν λογισμό που θα διατηρούσε όλα τα θεωρήματα του παρόντος που ισχύουν για το συνήθες νόημα της συνεπαγωγής, και θα απέρριπτε αυτόματα εκείνα που φαίνονται στον αμύητο «παράλογα». Θα ήταν επίσης πολύ πλουσιότερος σε θεωρήματα από τον παρόντα λογισμό, λόγω του γεγονότος ότι η εντασιακή διάζευξη των $p$ και $q$ συνεπάγεται και την εκτασιακή τους διάζευξη, όχι όμως αντίστροφα. Και, χάρη στη διάκριση αυτών των δύο νοημάτων των προτάσεων «είτε… είτε», ο λογισμός αυτός θα αποδεικνυόταν πολύτιμο όργανο λογικής ανάλυσης. Το κύριο πλεονέκτημά του έναντι οποιουδήποτε σημερινού συστήματος έγκειται στο ότι το νόημα της συνεπαγωγής σε αυτόν είναι ακριβώς εκείνο του συνήθους συμπερασμού και της απόδειξης.

2. Τα ζητήματα γύρω από την υλική συνεπαγωγή

C. I. Lewis, The Journal of Philosophy, Psychology and Scientific Methods, τόμ. 14, αρ. 13 (21 Ιουν. 1917), σσ. 350–356.

2.1 Εισαγωγικά

Σε πρόσφατο άρθρο του στο περιοδικό αυτό,1 ο κ. Norbert Wiener αντιτίθεται στην κριτική που έχω ασκήσει στη σχέση της υλικής συνεπαγωγής (material implication) ως βάσης του συμπερασμού. Το άρθρο του κ. Wiener δεν συναντά το ουσιώδες ζήτημα, αλλά αυτό ίσως είναι εξίσου δική μου υπαιτιότητα. Αν άλλοι κατάλαβαν τις εργασίες μου όπως φαίνεται να τις κατάλαβε εκείνος, τότε, για δικαιοσύνη προς τον εαυτό μου και προς όσους ενδιαφέρονται για τη λογική του κ. Russell,βλ. Russell & Whitehead, 1910–13 οφείλω να επιχειρήσω μια αναδιατύπωση. Και το πνεύμα της κριτικής του κ. Wiener είναι τόσο δίκαιο, ώστε χαίρομαι να επισημάνω τη συμφωνία μου με πολλές από τις θέσεις του. Για συντομία και σαφήνεια, τα υπό εξέταση ζητήματα συνοψίζονται σε θέσεις.

1. Η σχέση της υλικής συνεπαγωγής, $p \supset q$, που εμφανίζεται στη μαθηματική λογική των Principia Mathematica, δεν είναι η σχέση που έχουμε συνήθως στον νου μας όταν λέμε ότι το $q$ μπορεί να συναχθεί από το $p$.
2. Δεν υπάρχει βάσιμος λόγος να εγκαταλείψουμε το συνήθες νόημα του «συνεπάγεται» για αυτό το ασυνήθιστο. Η διαφορά ανάμεσα στην υλική συνεπαγωγή και τον συνήθη «συμπερασμό» δεν δείχνει κάποια απροσεξία ή αδυναμία της λογικής μας αίσθησης· δείχνει μάλλον τη νεοφάνεια της σχέσης $p \supset q$ ως «συνεπαγωγής».
3. Ο ασυνήθιστος χαρακτήρας αυτής της σχέσης ευθύνεται για την παρουσία, σε κάθε σύστημα συμβολικής λογικής που τη χρησιμοποιεί, ορισμένων «ιδιόρρυθμων» (peculiar) θεωρημάτων, π.χ. $\sim p \supset (p \supset q)$, «μια ψευδής πρόταση συνεπάγεται οποιαδήποτε πρόταση», και $\sim(p \supset q) \supset p$, «αν το $p$ δεν συνεπάγεται το $q$, τότε το $p$ είναι αληθές».2

2.2 Θέσεις 4–7: τα «ιδιόρρυθμα» θεωρήματα και οι κανόνες συναγωγής

4. Τα θεωρήματα (και τα αξιώματα) ενός λογισμού των προτάσεων χρησιμοποιούνται με δύο τρόπους εντός του ίδιου του συστήματος: (α) ως προκείμενες, από τις οποίες παράγονται περαιτέρω θεωρήματα· (β) ως κανόνες ή αρχές συναγωγής, με τους οποίους παράγονται τα θεωρήματα. Σε κάθε σύστημα υλικής συνεπαγωγής, τα θεωρήματα που αποκαλέσαμε «ιδιόρρυθμα» επιδέχονται έγκυρη χρήση ως προκείμενες. Δεν μπορούν όμως να χρησιμοποιηθούν επικερδώς ως κανόνες συναγωγής, ούτε εντός ούτε εκτός του συστήματος.

Η θέση αυτή χρειάζεται διευκρίνιση. Τα εν λόγω θεωρήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως κανόνες συναγωγής, και τίποτε στη φύση του συστήματος της υλικής συνεπαγωγής, όπως αναπτύσσεται στα Principia Mathematica, δεν εμποδίζει να χρησιμοποιηθούν έτσι.3 Η χρήση τους με αυτό τον τρόπο, όμως, δίνει προτάσεις όπως $p \supset (q \supset q)$, «Αν το $p$ είναι αληθές, τότε το $q$ συνεπάγεται το $q$», και $\sim[(pq) \supset q] \supset q$, «Αν το “$p$ και $q$ είναι και τα δύο αληθή” δεν συνεπάγεται το $q$, τότε το $q$ είναι αληθές». Όταν χρησιμοποιούνται ως κανόνες συναγωγής εκτός του συστήματος, τα «ιδιόρρυθμα» αυτά θεωρήματα δίνουν προτάσεις όπως «Σήμερα είναι Δευτέρα συνεπάγεται ότι $2 + 2 = 4$» και «Ο Σωκράτης ήταν ηλιακός μύθος συνεπάγεται ότι σήμερα είναι Δευτέρα». Χαρακτηριστικό των προτάσεων που προκύπτουν έτσι είναι ότι βεβαιώνουν μια «λογική» σχέση μεταξύ δηλώσεων που είναι πιθανό να είναι άσχετες. Πολύ λίγα από τα «ιδιόρρυθμα» θεωρήματα είναι καν τυπωμένα στα Principia Mathematica,4 αν και οσαδήποτε από αυτά μπορούν να παραχθούν από τα αξιώματα. Η παρουσία τους στο σύστημα δεν επηρεάζει, στην πράξη, τις αποδείξεις των μεταγενέστερων τμημάτων του έργου.

5. Το σύστημα της «αυστηρής συνεπαγωγής» που έχει παρουσιαστεί στις εργασίες μου είναι τέτοιο ώστε κανένα από τα «ιδιόρρυθμα» θεωρήματα της υλικής συνεπαγωγής να μην μπορεί να αποδειχθεί από τα αξιώματά του, ενώ όλα τα άλλα θεωρήματα της υλικής συνεπαγωγής μπορούν να αποδειχθούν (υποθέτοντας, βέβαια, ότι κάθε υλική συνεπαγωγή αντικαθίσταται από την αντίστοιχη αυστηρή).5
6. Επομένως, διακριτικό γνώρισμα της υλικής συνεπαγωγής ως είδους εντός του γένους των «δυνατών συστημάτων συμβολικής λογικής» είναι η συμπερίληψη αυτών των «ιδιόρρυθμων» θεωρημάτων.
7. Αν δεν χρησιμοποιήσει ποτέ αυτά τα θεωρήματα ως κανόνες συναγωγής, μπορεί κανείς να θεωρήσει το σύστημα της υλικής συνεπαγωγής αρκετά εύχρηστο όργανο απόδειξης (organon of proof), διότι με αυτή την ευκολιακή παράλειψη χρησιμοποιεί ακριβώς εκείνες τις αρχές που δεν είναι ιδιάζουσες στην υλική συνεπαγωγή, αλλά συμφωνούν με το συνήθες νόημα του «συνεπάγεται».

Οι παραπάνω θέσεις αρκούν για να τεκμηριώσουν ότι το σύστημα της υλικής συνεπαγωγής είναι ελαττωματικό με την εξής έννοια: περιέχει οσαδήποτε θεωρήματα —θεωρήματα περί «συνεπαγωγής»— που δεν μπορούν ποτέ να έχουν την παραμικρή αξία ως αρχές συναγωγής. Και ακριβώς με τη συμπερίληψη αυτών των άχρηστων θεωρημάτων διαφέρει από ένα άλλο, εξίσου συνεπές, σύστημα συμβολικής λογικής. Αυτές είναι οι σπουδαιότερες θεωρήσεις· και αν διαβάζω σωστά τον κ. Wiener, δεν αρνείται τίποτε από όσα έχουν διατυπωθεί μέχρι τώρα, αν και ίσως θα ήθελε να προσφέρει ελαφρυντικά για αυτό που έχω αποκαλέσει «ελάττωμα» της υλικής συνεπαγωγής.

2.3 Θέσεις 8–10: η συνέπεια του συστήματος

Τώρα προσεγγίζουμε δυσκολότερα ζητήματα, και πρέπει να προσέξουμε να μην «διαβάσουμε μέσα» στις θέσεις που ακολουθούν οτιδήποτε δεν έχει διατυπωθεί.

8. Το σύστημα της υλικής συνεπαγωγής, όπως αναπτύσσεται στα Principia Mathematica, παράγεται από επακριβώς διατυπωμένα αξιώματα και ορισμούς, με πράξεις που έχουν δηλωθεί σαφώς και τηρούνται αυστηρά. Με ακριβώς αυτή την έννοια, είναι ένα μαθηματικά συνεπές σύστημα.
9. Τα αξιώματα είναι αληθή ως προς το δικό τους νόημα του «συνεπάγεται», και τα θεωρήματα είναι αληθή με την ίδια έννοια.
10. Τα αξιώματα και τα θεωρήματα είναι τέτοια ώστε όποιος δέχεται την αλήθεια των αξιωμάτων δεν μπορεί συνεπώς να αρνηθεί την αλήθεια των θεωρημάτων. Τα θεωρήματα είναι σχετικά, ως προς το περιεχόμενο, με τα αξιώματα: τα θεωρήματα (χωρίς να εξαιρούνται τα «ιδιόρρυθμα») μπορούν να συναχθούν, καθένα και όλα, από τα αξιώματα.6

Ο κ. Wiener φαίνεται να πιστεύει ότι αρνούμαι κάποια ή κάποιες από τις τρεις τελευταίες θέσεις — δεν είμαι βέβαιος ποιες.

2.4 Θέση 11: η κρίσιμη διαφωνία

11. Δεν έχει αποδειχθεί στα Principia Mathematica ότι τα θεωρήματα του συστήματος της υλικής συνεπαγωγής μπορούν να συναχθούν από τα αξιώματα.

Ο κ. Wiener αφιερώνει το μεγαλύτερο μέρος του άρθρου του στη συζήτηση αυτής της θέσης. Δυστυχώς, φαίνεται να συγχέει το «το $p$ μπορεί να συναχθεί από το $q$» με το «το $p$ συνάγεται από το $q$», και με το «Έχει αποδειχθεί ότι το $p$ μπορεί να συναχθεί από το $p$».7 Αν κάθε πρόταση που μπορεί να συναχθεί από μια άλλη είχε, και μόνο γι' αυτόν τον λόγο, αποδειχθεί ότι είναι συναγώγιμη, τότε η «απόδειξη» θα ήταν περιττή. Επίσης, φαίνεται διατεθειμένος να καταφύγει στον ισχυρισμό ότι τα θεωρήματα παράγονται από τα αξιώματα με (μαθηματικά ή συμβολικά) αυστηρές πράξεις.8 Αυτό θα σήμαινε να θεωρηθεί δεδομένο το ζητούμενο, δηλαδή το αν μια παραγωγή που βασίζεται στην υλική συνεπαγωγή είναι, ή μπορεί να είναι, συναγωγή (inference).

2.5 Ο διάλογος

Τα υπέρ και τα κατά αυτού του ζητήματος μπορούν να παρουσιαστούν πιο εύστοχα με τη μορφή διαλόγου ανάμεσα στον $X$ και σε εμένα. Οι απόψεις του $X$ μπορεί να μην είναι του κ. Wiener· και κάθε ρητορικό πλεονέκτημα που μπορεί να αντλήσω από τον «άνθρωπο από άχυρο» (straw-man) δεν προορίζεται γι' αυτόν. Προσπαθώ όμως να παρουσιάσω δίκαια και τις δύο πλευρές: κύριος στόχος είναι η διασαφήνιση του ζητήματος. Στην καλύτερη περίπτωση, αυτό δεν είναι εύκολο, και ο αναγνώστης πρέπει να έχει διαρκώς στον νου τον χαρακτήρα της υλικής συνεπαγωγής. Το «το $p$ συνεπάγεται υλικά το $q$» σημαίνει ακριβώς: «Τουλάχιστον μία από τις δύο προτάσεις, “το $p$ είναι ψευδές” και “το $q$ είναι αληθές”, είναι αληθής πρόταση»· ή «Είναι ψευδές ότι το $p$ είναι αληθές και το $q$ ψευδές». Αν το $p$ είναι ψευδές, τότε το $p$ συνεπάγεται υλικά το $q$· αν το $q$ είναι αληθές, τότε το $p$ συνεπάγεται υλικά το $q$. Από δύο οποιεσδήποτε αληθείς προτάσεις —όσο άσχετες κι αν είναι ως προς το περιεχόμενο— η καθεμία συνεπάγεται υλικά την άλλη. Από δύο οποιεσδήποτε ψευδείς προτάσεις, η καθεμία συνεπάγεται υλικά την άλλη. Από δύο οποιεσδήποτε προτάσεις, η μία αληθής και η άλλη ψευδής, η ψευδής συνεπάγεται υλικά την αληθή. Από δύο οποιεσδήποτε προτάσεις επιλεγμένες τυχαία, είναι βέβαιο εκ των προτέρων ότι τουλάχιστον η μία συνεπάγεται υλικά την άλλη.

X. Έχει αποδειχθεί στα Principia Mathematica ότι, αν τα αξιώματα του συστήματος της υλικής συνεπαγωγής είναι αληθή, τότε τα θεωρήματα είναι αληθή.

L. Πράγματι, θεωρείτε δεδομένο το ζητούμενο με το «αν …, τότε …» σας, το οποίο μπορεί να σημαίνει μια σύνδεση του είδους που αποκαλούμε «λογικά αναγκαία» ανάμεσα στο περιεχόμενο της πρότασης «αν» και της πρότασης «τότε», ή μπορεί να δηλώνει μόνο μια σχέση υλικής συνεπαγωγής, όπως: «Αν σήμερα είναι Δευτέρα, τότε $2 + 2 = 4$».

X. Σημαίνει υλική συνεπαγωγή, αλλά αυτό δεν κάνει διαφορά στο επιχείρημα. Η φύση της υλικής συνεπαγωγής είναι τέτοια ώστε, αν ισχύει ανάμεσα σε αξιώματα και θεωρήματα και τα αξιώματα είναι αληθή, τότε τα θεωρήματα είναι αληθή. Και αυτό είναι το κριτήριο της έγκυρης συναγωγής.

L. Θα μπορούσα να σας ρωτήσω αν αυτό το «αν …, τότε …» είναι υλική συνεπαγωγή, αλλά απέχω. Στην πραγματικότητα, είναι αυστηρή συνεπαγωγή.9

X. Τότε παραδέχεστε την τελευταία μου δήλωση;

L. Παραδέχομαι ότι τα αξιώματα της υλικής συνεπαγωγής είναι αληθή, ως προς το δικό τους νόημα του «συνεπάγεται», και, εφόσον οι αληθείς προτάσεις δεν συνεπάγονται υλικά ψευδείς, ότι τα θεωρήματα είναι αληθή με την ίδια έννοια. Πρέπει όμως να επισημάνω ότι αληθή αξιώματα μπορούν να συνεπάγονται υλικά θεωρήματα που είναι εντελώς άσχετα. Αυτό ακριβώς γράφτηκε να δείξει το «Too Brief Set of Postulates».10 Αποδεικνύει αυτή η εργασία ότι ένα αληθές αξίωμα μπορεί να συνεπάγεται υλικά θεωρήματα που είναι αληθή αλλά άσχετα;

X. Κατά κάποιον τρόπο, ναι. Η παραδοχή σε εκείνη την περίπτωση είναι «αξίωμα» μόνο από ευγένεια· παραδέχομαι όμως ότι μπορείτε να γράψετε μια αληθή παραδοχή που θα συνεπάγεται υλικά άσχετες προτάσεις. Ωστόσο, αυτό δεν είναι το θέμα: το σημαντικό είναι ότι η υλική συνεπαγωγή δεν μπορεί ποτέ να ισχύει ανάμεσα σε αληθή αξιώματα και ψευδή θεωρήματα.

L. Έχω πει ότι οι αληθείς προτάσεις δεν συνεπάγονται υλικά ψευδείς.

X. Τότε δεν έχετε πού να σταθείτε.

L. Περιμένετε λίγο. Είναι τα αξιώματα της υλικής συνεπαγωγής αποδεδειγμένα στα Principia Mathematica;

X. Βεβαίως όχι· εξηγούνται όμως έτσι ώστε ο καθένας να βλέπει ότι είναι αληθή.

L. Είναι αληθή, όπως είπα, αλλά είναι αποδεδειγμένα;

X. Όχι.

L. Τότε σε ποια έννοια είναι αποδεδειγμένη η αλήθεια των θεωρημάτων που αυτά συνεπάγονται υλικά;

X. Με την έννοια ότι, είτε τα αξιώματα είναι αληθή είτε όχι, αν τα παραδεχθείτε (grant), πρέπει να παραδεχθείτε και τα θεωρήματα.

L. Λυπάμαι αν φαίνεται ότι χωρίζω τρίχες στα τέσσερα, αλλά η δήλωσή σας δεν είναι επαρκώς ακριβής. «Παραδεχόμαστε» παραδοχές με δύο έννοιες: είτε επειδή πιστεύουμε ότι είναι αληθείς και είμαστε έτοιμοι να πιστέψουμε ό,τι συνεπάγονται, είτε για χάρη του επιχειρήματος και για να ανακαλύψουμε τις λογικές τους συνέπειες. Τα «αξιώματα» παραδέχονται συνήθως με τη δεύτερη έννοια, δεν είναι έτσι; Χρησιμοποιείτε το «παραδέχομαι» με αυτή την έννοια;

X. Δεν έχει την παραμικρή σημασία.

L. Δεν θα είχε, αν μας απασχολούσε το συνήθες νόημα του «συνεπάγεται», αλλά η υλική συνεπαγωγή είναι ιδιάζουσα ως προς αυτό. Επιτρέψτε μου να σας ρωτήσω: εννοείτε ότι, είτε τα αξιώματα της υλικής συνεπαγωγής είναι de facto αληθή είτε όχι, αν ήταν αληθή, τα θεωρήματα θα ήταν αναγκαστικά αληθή;

X. Δεν υπάρχει μυστηριώδης φυσική ή αιτιακή σύνδεση στην υλική συνεπαγωγή —ούτε σε οποιοδήποτε άλλο είδος— αν αυτό είναι που υπαινίσσεστε.

L. Πείτε μου όμως: παραδέχεστε ότι το «Ο Σωκράτης ήταν ηλιακός μύθος» συνεπάγεται υλικά το $2 + 2 = 5$;

X. Ναι· αλλά μόνο επειδή ο Σωκράτης δεν ήταν ηλιακός μύθος.

L. Ακριβώς. Αν όμως ο Σωκράτης ήταν ηλιακός μύθος, θα ήταν αληθές ότι $2 + 2 = 5$; Αν παραδεχόσασταν σε κάποιον παραδοξολόγο την παραδοχή του ότι ο Σωκράτης ήταν ηλιακός μύθος, θα νιώθατε υποχρεωμένος να προχωρήσετε και να παραδεχθείτε ότι $2 + 2 = 5$;

X. Υποθέτω ότι εννοείτε να επιμείνετε κι άλλο στο «άσχετο».

L. Εννοώ ακριβώς το εξής: τα αξιώματα του συστήματος της υλικής συνεπαγωγής στα Principia Mathematica δεν είναι αποδεδειγμένα, και οι «αποδείξεις» των θεωρημάτων δείχνουν μόνο ότι αυτά συνεπάγονται υλικά από τα αξιώματα. Ας υποθέσουμε, προς στιγμήν, ότι τα αξιώματα δεν ήταν αληθή. Τότε όχι μόνο μπορεί τα θεωρήματα να ήταν ψευδή, αλλά —ως προς ό,τι έχει αποδειχθεί— θα μπορούσαν να είναι τέτοια ώστε, ακόμη κι αν τα αξιώματα ήταν αληθή, αυτά να παρέμεναν ψευδή.

X. Και τι έγινε, αφού τα αξιώματα είναι, de facto, αληθή;

L. Μόνο το εξής: η σχέση που έχει εδραιωθεί ανάμεσα σε αξιώματα και θεωρήματα είναι η σχέση που έχει εδραιωθεί —το αν τα αξιώματα είναι αληθή ή όχι δεν αλλάζει αυτό. Και η σχέση που έχει εδραιωθεί ανάμεσα στα αξιώματα και τα θεωρήματα του συγκεκριμένου συστήματος είναι ακριβώς η ίδια σχέση που παραδέχεστε ότι ισχύει ανάμεσα στο «Ο Σωκράτης ήταν ηλιακός μύθος» και στο $2 + 2 = 5$. Ίσως είμαι πουριστής, αλλά δεν θα αποκαλούσα ποτέ «απόδειξη» την εδραίωση μιας τέτοιας σύνδεσης.

X. Αλλά ξέρετε καλά ότι τα αξιώματα και τα θεωρήματα του συστήματος της υλικής συνεπαγωγής είναι σχετικά μεταξύ τους.

L. Ναι, ξέρω ότι είναι, de facto, σχετικά. Όπως είπα, τα θεωρήματα μπορούν να συναχθούν από τα αξιώματα. Για άλλη μια φορά, το ερώτημα δεν είναι αν μπορούν να συναχθούν, αλλά αν αυτό έχει αποδειχθεί. Βλέπετε ότι το ερώτημα επιστρέφει πάντα στο κατάλληλο νόημα του «συνεπάγεται» που πρέπει να υπάρχει στην επιστημονική απόδειξη (demonstration) και στην απόδειξη (proof). Η «απόδειξη» απαιτεί να εδραιωθεί μια σύνδεση περιεχομένου ή νοήματος ή λογικών σημασιών. Και αυτό δεν γίνεται για τα αξιώματα και τα θεωρήματα στην υλική συνεπαγωγή· ακόμη περισσότερο, δεν μπορεί να γίνει χωρίς προσφυγή σε αρχές εκτός του συστήματος.

X. Να δω αν σας καταλαβαίνω. Παραδέχεστε ότι η σχέση της υλικής συνεπαγωγής είναι τέτοια, και η διαδικασία των πρώτων τμημάτων των Principia Mathematica είναι τέτοια, ώστε, με τα αξιώματα de facto αληθή και με εδραιωμένο το γεγονός ότι συνεπάγονται υλικά τα θεωρήματα, έπεται ότι τα θεωρήματα είναι αληθή;

L. Ναι.

X. Και όταν λέτε ότι τα θεωρήματα δεν είναι αποδεδειγμένα, εννοείτε μόνο ότι δεν έχει δειχθεί πως είναι σχετικά, ως προς το περιεχόμενο, με τα αξιώματα;

L. Ακριβώς αυτό. Εσείς νομίζετε ότι αυτό είναι ένα πολύ μικρό «μόνο»· εγώ νομίζω ότι είναι ένα μεγάλο «μόνο». Διότι μια σχέση που δεν υποδεικνύει συνάφεια περιεχομένου είναι απλώς σύνδεση «τιμών αληθείας», όχι αυτό που εννοούμε με «λογική» σχέση ή «συναγωγή».

Είναι λυπηρό αν η χρήση των όρων «επιστημονική απόδειξη» και «απόδειξη» από μέρους μου μπέρδεψε κάποιον, αλλά νομίζω ότι τους έχω χρησιμοποιήσει στη γενικά αποδεκτή και ορθή σημασία τους. Και τώρα νομίζω ότι το ζήτημα έχει ολοκληρωθεί, δίκαια προς όλους τους ενδιαφερομένους.

X. Αλλά ο κ. Russell έχει ένα νέο και καλύτερο νόημα της «επιστημονικής απόδειξης». Δεν το αναφέρετε καν. Στα μεταγενέστερα τμήματα —

L. Μπορώ να κάνω την προσφορά μου στους θεούς χωρίς να απαγγείλω ολόκληρα τα Principia Mathematica;

Και πρέπει να μιλάμε για νέα και καλύτερα νοήματα, ή για νέες και καλύτερες αναλύσεις; Η «συνεπαγωγή» και η «απόδειξη» είναι αρκετά θεμελιώδεις κατηγορίες. Οι συνεισφορές του κ. Russell και του κ. Whitehead είναι σημαντικές —καμία δεν είναι σημαντικότερη— κι όμως δεν θα μας ευγνωμονούν αν μιλήσουμε σαν η λογική και η μαθηματική απόδειξη να ήταν πράγματα που εφηύραν και μπορούν να τα χειρίζονται όπως θέλουν. Έχουμε πάντα ανάγκη να απομακρύνουμε συγχύσεις και να συνειδητοποιούμε σαφέστερα τις δικές μας προθέσεις. Αλλά όπου πρόκειται για τα βασικά πράγματα του ανθρώπινου λόγου, τα γνήσια καινοφανή νοήματα εύλογα αντιμετωπίζονται με καχυποψία.

C. I. Lewis, Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας

Βιβλιογραφία

• Russell, B. & Whitehead, A. N. (1910–1913). Principia Mathematica. Cambridge University Press.
• Whitehead, A. N. (1898). A Treatise on Universal Algebra. Cambridge University Press.
• Wiener, N. (1916). Mr. Lewis and implication. The Journal of Philosophy, 13, 656–662.